Квантовая механика и интегралы по траекториям

Прежде чем пойти дальше, договоримся о новых, лучших обозначениях, с тем чтобы охватить более общие случаи. Введём функционал 𝐹[𝑥(𝑡)], не касаясь пока его физической природы. С помощью этого функционала определим матричный элемент перехода как

⟨χ|𝐹|ψ⟩

_𝑆

=

∫∫∫

χ*(𝑥

₂

)

𝐹[𝑥(𝑡)]

𝑒

^𝑖𝑆/ℏ

ψ(𝑥

₁

)

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑𝑥

₁

𝑑𝑥

₂

.

(7.3)

Здесь 𝐹 — некоторый функционал от 𝑥(𝑡), не зависящий от значений функции 𝑥(𝑡) на границе и вне области изменения переменных 𝑥₁ и 𝑥₂. В частном случае, когда 𝐹=1, интеграл (7.3) определяет амплитуду перехода.

Матричные элементы перехода трудно представить себе, если опираться на интуитивные понятия. Поэтому для того, чтобы хотя бы частично использовать такие понятия, обычно обращаются к некоторой классической аналогии. Рассмотрим, например, картину броуновского движения какой-то очень маленькой частицы. Пусть в некоторый начальный момент 𝑡=𝑡₁ эта частица находится в точке 𝑥₁ и мы ищем вероятность того, что частица достигнет точки 𝑥₂ в момент 𝑡=𝑡₂

. В случае квантовомеханических частиц мы обычно говорим о переходе из начального в некоторое конечное состояние. Поэтому точка 𝑥₁ для броуновской частицы соответствует начальной волновой функции ψ(𝑥₁) в выражении (7.2), а точка 𝑥₂ — функции χ(𝑥₂). Далее, решение квантовомеханической задачи требует интегрирования по переменным 𝑥₁ и 𝑥₂ начального и конечного состояний — шаг, совершенно ненужный в нашей классической задаче.

Классическую задачу можно решить, рассматривая все возможные траектории движения частиц. При этом мы должны были бы вклад каждой траектории брать с весом, равным вероятности того, что частица действительно следует вдоль такой траектории, и вычислить интеграл по всем траекториям. Весовая функция здесь будет соответствовать члену 𝑒^𝑖𝑆/ℏ, входящему в интеграл (7-2).

Конечное положение частицы в такой задаче не будет определяться отдельной точкой, а выразится некоторой малой окрестностью точки 𝑥₂ (от 𝑥₂ до 𝑥₂+𝑑𝑥). После соответствующей нормировки результат будет иметь вид функции распределения 𝑃(𝑥₂)𝑑𝑥₂, определяющей вероятность достижения бесконечно малой окрестности точки 𝑥₂. Эта функция является аналогом амплитуды перехода (7.2), в случае, когда ψ и χ являются δ-функциями пространственных координат.

Допустим теперь, что мы хотим узнать о движении несколько больше, чем просто относительную вероятность достижения точки 𝑥₂: например, мы хотели бы найти ускорение, которое будет иметь частица через некоторое определённое время (скажем, 1 сек) после начала движения. Для этого нам нужно было бы знать вероятные значения всех ускорений, т.е. величину ускорения для каждой возможной траектории, взятую с весом, равным вероятности движения вдоль этой траектории. Такая усреднённая величина будет соответствовать матричному элементу перехода (7.3). Суть этого утверждения заключается в том, что в подынтегральную функцию соотношения (7.3) мы вместо функции 𝐹[𝑥(𝑡)] должны подставить ускорение, взятое в некоторый момент времени 𝑡. С помощью интегралов по траекториям решение классической задачи можно представить в виде, очень похожем на соотношение (7.3).

Далее в этой главе мы будем пользоваться подобной аналогией и время от времени будем рассматривать матричные элементы перехода как «взвешенные средние». Необходимо, однако, помнить, что весовая функция в квантовой механике является комплексной величиной и поэтому результат не будет «средним» в обычном смысле этого слова.

Описание броуновского движения методом интегралов по траекториям, как это было показано в нашей классической аналогии, действительно является очень мощным методом. Детально это будет рассмотрено в гл. 12, а сейчас мы с помощью теории возмущений, развитой в гл. 6, попытаемся ещё несколько прояснить смысл матричного элемента перехода.

Случай малых возмущений. Предположим, что действие, описывающее движение системы, можно разделить на две части: 𝑆=𝑆₀+σ, где 𝑆₀ приводит лишь к простым интегралам по траекториям, в то время как оставшаяся часть а достаточно мала и мы можем применить метод теории возмущений. Экспоненциальную функцию в соотношении (7.2) представим в виде

𝑒

^𝑖𝑆/ℏ

=

𝑒

^{𝑖𝑆₀/ℏ}

𝑒

^𝑖σ/ℏ

.

(7.4)

Учитывая теперь соотношение (7.3), запишем матричный элемент перехода (7.2) в виде

⟨χ|1|ψ⟩

_𝑆0+σ

=

⟨χ|𝑒

^𝑖σ/ℏ

|ψ⟩

_𝑆0

,

(7.5)

а после разложения экспоненты в ряд получим

⟨χ|1|ψ⟩

_𝑆0+σ

=

⟨χ|1|ψ⟩

_𝑆0

+

𝑖

ℏ

⟨χ|σ|ψ⟩

_𝑆0

-

1

2ℏ²

⟨χ|σ²|ψ⟩

_𝑆0

+… .

(7.6)

Этот ряд является обобщением разложения (6.3) и может рассматриваться как основа теории возмущений. Отсюда можно получить матричные элементы перехода, встречающиеся в целом ряде квантовомеханических задач.

Предположим, что возмущающий потенциал и обусловленная им часть функции действия σ связаны соотношением

σ=

∫

𝑉[χ(𝑡),𝑡]

𝑑𝑡

.

(7.7)

В этом случае в первом приближении получим матричный элемент перехода

⟨χ|1|ψ⟩

_𝑆0

=

∫

⟨|𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]|φ⟩

_𝑆0

𝑑𝑡

.

(7.8)

Чтобы вычислить его, нужно взять интеграл

⟨|𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]|φ⟩

_𝑆0

=

=

∫

_𝑥2

∫

^𝑥₁

∫

χ*(𝑥

₂

)

𝑒

^{𝑖𝑆₀/ℏ}

𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]

ψ(𝑥

₁

)

𝑑𝑥

₁

𝑑𝑥

₂

𝒟𝑥(𝑡)

.

(7.9)