Квантовая механика и интегралы по траекториям

Первый множитель здесь определяет сдвиг энергии. Второй множитель легко интерпретировать как вероятность того, что через время 𝑇 система по-прежнему будет пребывать в состоянии 𝑚; эта вероятность равна λ_𝑚𝑚=exp(-γ𝑇) и убывает со временем, так как в каждый момент времени имеется определённая вероятность перехода системы из состояния 𝑚 в некоторое другое состояние. Это означает, что для полной согласованности следует допустить, что величина γ является полной вероятностью (в расчёте на единицу времени) перехода из состояния 𝑚 в некоторое состояние, принадлежащее непрерывному спектру при той же самой энергии. Из уравнения (6.118) следует, что

γ=

 

∑

^𝑘

2πδ

(𝐸

_𝑚

-𝐸

_𝑘

)

|𝑉

_𝑚𝑘

|²

.

(6.120)

Итак, мы видим, что полная вероятность, отнесённая к единице времени, в точности совпадает с суммой в формуле (6.87), взятой по всем допустимым конечным состояниям (допустимым в рассматриваемом приближении по 𝑉.

Величина, обратная γ, называется средним временем жизни состояния. Строго говоря, состояние с конечным временем жизни не имеет определённой энергии. В соответствии с принципом Гейзенберга неопределённость энергии Δ𝐸=(ℏ/время жизни) т.е. Δ𝐸=γ.

Если поставить эксперимент для определения различия энергий двух уровней, каждый из которых имеет ширину γ, то мы обнаружим, что резонанс не является острым, а имеет сглаженную форму. Центр резонансного пика определяет разность энергий, а его ширина — сумму значений γ для данных двух уровней.

Глава 7

МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПЕРЕХОДА

В гл. 6, рассматривая вопросы, связанные с изменением состояний квантовомеханической системы, мы развивали общие представления теории возмущений. В связи с этим мы рассмотрели и исследовали системы, основное состояние которых описывается постоянным во времени гамильтонианом. Теперь продолжим изучение метода теории возмущений и обобщим его на случай систем, у которых невозмущённое состояние описывается гамильтонианом, изменяющимся со временем. С этой целью введём более общие обозначения и попытаемся несколько шире рассмотреть вопрос о том, каким образом происходит изменение состояния квантовомеханической системы. Эти новые обозначения будут введены в переменные и некоторые специальные функции, так называемые матричные элементы перехода.

Всю эту главу можно разделить на четыре части. Вначале дадим определение амплитуд и матричных элементов перехода на основе теории возмущений, развитой в гл. 6. Во второй части, охватывающей § 2—4, сформулируем некоторые представляющие общий интерес соотношения для матричных элементов перехода. В третьей части (§ 5) покажем, как связаны между собой матричные элементы перехода, определённые с помощью интегралов по траекториям, и величины, описывающие то же явление, но определённые с помощью обычных квантовомеханических операторов. Наконец, в последней части (§ 6 и 7) применим результаты предыдущих параграфов к решению двух частных интересных квантовых задач.

§ 1. Определение матричных элементов перехода

Изменение квантовомеханической системы во времени можно представить себе следующим образом. В начальный момент 𝑡₁ состояние описывается волновой функцией ψ(𝑥₁,𝑡₁). В более поздний момент времени 𝑡₂ это начальное состояние переходит в состояние ψ(𝑥₂,𝑡₂).

Предположим, что в момент 𝑡₂ мы задаём вопрос: какова вероятность найти систему в некотором состоянии χ(𝑥₂,𝑡₂)? Как мы знаем из общих соображений, развитых в гл. 5, вероятность того, что система будет находиться в определённом состоянии, пропорциональна квадрату модуля амплитуды, определяемой интегралом

∫

χ*(𝑥

₂

,𝑡

₂

)

φ(𝑥

₂

,𝑡

₂

)

𝑑𝑥

₂

Из гл. 3 нам также известно, что функция φ может быть выражена через начальную волновую функцию с помощью ядра 𝐾, описывающего движение системы в интервале между моментами времени 𝑡₁ и 𝑡₂. Поэтому при отыскании вероятности пребывания системы в каком-то определённом состоянии можно исходить из начальной волновой функции φ, учитывая зависимость от времени с помощью ядра 𝐾(2,1).

Результирующую амплитуду, абсолютная величина которой даёт искомую вероятность, назовём амплитудой перехода и обозначим её так:

⟨χ|1|ψ⟩

=

∫∫

χ*(𝑥

₂

)

𝐾(2,1)

ψ(𝑥

₁

)

𝑑𝑥

₂

𝑑𝑥

₁

.

(7.1)

При описании процесса перехода для нас было бы сейчас предпочтительнее вернуться к более общим обозначениям. Введём для этого снова функцию действия 𝑆, описывающую поведение системы в интервале между двумя моментами времени, и запишем амплитуду перехода в виде

⟨χ|1|ψ⟩

_𝑆

=

∫

_𝑥2

∫

^𝑥₁

∫

χ*(𝑥

₀

)

𝑒

^𝑖𝑆/ℏ

ψ(𝑥

₁

)

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑𝑥

₁

𝑑𝑥

₂

.

(7.2)

Здесь мы применяем более точное обозначение, добавив в амплитуду перехода индекс 𝑆, чтобы указать величину действия, входящего в интеграл. Этот интеграл необходимо взять по всем траекториям, которые соединяют точки 𝑥₁ и 𝑥₂, результат умножить на две волновые функции и затем ещё раз проинтегрировать по всем пространственным переменным в указанных пределах.