Квантовая механика и интегралы по траекториям

Первый шаг при вычислении этого интеграла в точности совпадает с тем, что мы делали в соотношениях (6.8) — (6.11) при вычислении ядра 𝐾⁽¹⁾. Выражение для интеграла по траекториям получается путём интегрирования по координатам обеих конечных точек 𝑥₁ и 𝑥₂ и по координатам промежуточной точки 𝑥₃ [обозначенной в соотношении (6.10) через 𝑐]. Таким образом,

⟨|𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]|φ⟩

_𝑆0

=

∫

χ*(𝑥

₂

)

𝐾

₀

(2,3)

𝑉(3)

𝐾

₀

(3,1)

ψ(𝑥

₁

)

𝑑𝑥

₁

𝑑𝑥

₂

𝑑𝑥

₃

.

(7.10)

Мы получили это выражение, основываясь на трёх допущениях: во-первых, применили интегральное правило (3.42) для волновой функции; далее, для написания амплитуды мы взяли выражение (5.31), определяющее вероятность того, что система, находящаяся в каком-то определённом состоянии, может быть найдена и в некотором другом состоянии; наконец, для ядра, описывающего движение системы, употребили первое приближение теории возмущений (6.11). Все это в совокупности определяет матричный элемент перехода (7.10). Квадратмодуля этого выражения представляет собой вероятность того, что система, находившаяся в исходном состоянии ψ, может под действием малого возмущающего потенциала 𝑉(𝑥,𝑡) перейти далее в состояние χ (если это последнее не является состоянием системы при 𝑉=0, т.е. если ⟨χ|1|ψ⟩=0).

Соотношение (3.42) позволяет нам ввести сокращённые обозначения подобно тому, как это было сделано в соотношении (6.23) при переходе к выражению (6.25). Определим функцию ψ(𝑥₃𝑡₃) как

ψ(3)

=

∫

𝐾

₀

(3,1)

ψ(𝑥

₁

)

𝑑𝑥

₁

.

(7.11)

Это — волновая функция в момент 𝑡₃, возникающая из начальной волновой функции в случае, когда нет возмущения. Аналогично определим функцию

χ*(𝑥

₃

,𝑡

₃

)

=

∫

χ*(𝑥

₂

)

𝐾

₀

(2,3)

𝑑𝑥

₂

,

(7.12)

комплексно сопряжённую волновой функции, которая (при отсутствии возмущения) в момент 𝑡₃ будет совпадать с функцией χ(𝑥₂) в момент 𝑡₂ [см. уравнение (4.38) и задачу 4.7].

С помощью вновь введённых волновых функций член первого порядка теории возмущений можно записать более просто:

⟨χ|

∫

𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]

𝑑𝑥

|ψ⟩

_𝑆0

=

∫∫

χ³(3)

𝑉(3)

ψ(3)

𝑑𝑥

₃

𝑑𝑡

₃

,

(7.13)

откуда видно, что амплитуда перехода, представленная в такой форме, является обобщением амплитуды перехода λ_𝑚𝑛, введённой в § 5 гл. 6. Если волновые функции в правой части соотношения (7.13) являются собственными функциями, то результирующая амплитуда перехода будет просто совпадать с амплитудой λ¹_𝑚𝑛, определяемой соотношением (6.70).

Таким образом, вычисление элемента перехода для функционала 𝐹[𝑥(𝑡)], зависящего от времени 𝑡 только через 𝑥(𝑡), как и вычисление интеграла по времени от такого функционала, не вызывает затруднений. Легко вычисляется и элемент перехода для функционалов, зависящих от функций 𝑥, определённых для двух разных моментов времени. Такая задача встречается, например, при рассмотрении члена второго порядка ряда теории возмущений. Этот член можно записать в виде

1

2ℏ²

⟨χ|σ²|ψ⟩

_𝑆0

=

1

2ℏ²

∫∫

⟨χ|

𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]

𝑉[𝑥(𝑠),𝑥]

|ψ⟩

𝑑𝑡

𝑑𝑠

.

(7.14)

Подынтегральное выражение в этом соотношении само по себе является матричным элементом перехода и может быть представлено как

⟨χ|

𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]

𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]

|ψ⟩

=

∫∫

χ*(4)

𝑉(4)

𝐾

₀

(4,3)

𝑉(3)

ψ(3)

𝑑𝑥

₃

𝑑𝑥

₄

,

(7.15)

где мы обозначили 𝑡₃=𝑠; 𝑡₄=𝑡 для случая 𝑠<𝑡 и 𝑡₃=𝑡; 𝑡₄=𝑠 для 𝑠>𝑡.

Таким образом, член второго порядка в разложении теории возмущений имеет вид

1

2ℏ²

⟨χ|

∫

𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]

𝑑𝑡

∫

𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]

𝑑𝑠

|ψ⟩

=

=

∫∫

χ*(4)

𝑉(4)

𝐾

₀

(4,3)

ψ(3)

𝑑𝑥

₃

𝑑𝑡

₃

𝑑𝑥

₄

𝑑𝑡

₄

,

(7.16)

что можно понимать как обобщение амплитуды перехода (6.74). Нетрудно написать также выражения, содержащие три или более функций.

Соотношение (7.4) соответствует и более общему виду теории возмущений. Для примера рассмотрим частицу, взаимодействующую с каким-либо осциллятором. После интегрирования по координатам осциллятора результирующую функцию действия можно написать как 𝑆₀+σ, где (см. § 10 гл. 3)

σ=

1

𝑚ω sin 𝑚𝑇

_𝑡2

∫

^𝑡₁

_𝑡

∫

^𝑡₁

𝑔[𝑥(𝑡),𝑡]

𝑔[𝑥(𝑠),𝑠]

sin ω(𝑡

₂

-𝑡)

sin ω(𝑠-𝑡

₁

)

𝑑𝑠

𝑑𝑡

.

(7.17)

Функционал 𝑔[𝑥(𝑡),𝑡] здесь характеризует взаимодействие частицы и осциллятора; 𝑇=𝑡₂-𝑡₁.

Как уже отмечалось, практическое вычисление интегралов по траекториям, содержащих такую сложную функцию действия, очень затруднительно, однако если можно ожидать, что эффект, вызываемый сложным членом а, невелик, то искомый результат легко получить, разложив экспоненту (7.4) в ряд по возмущениям. Для иллюстрации найдём член первого порядка в таком разложении (т.е. первую борновскую поправку). Используя для δ выражение (7.17), можно вычислить член (𝑖/ℏ)⟨χ|δ|ψ⟩_𝑆0, записав его в виде

𝑖

ℏ

⟨χ|σ|ψ⟩

_𝑆0

=

1

𝑚ω sin 𝑚𝑇

_𝑡2

∫

^𝑡₁

_𝑡

∫

^𝑡₁

⟨|

𝑔[𝑥(𝑡),𝑡]

𝑔[𝑥(𝑠),𝑠]

|ψ⟩

_𝑆0

×

×

sin ω(𝑡

₂

-𝑡)

sin ω(𝑠-𝑡

₁

)

𝑑𝑠

𝑑𝑡

,

(7.18)

так что наиболее трудная часть задачи сводится к отысканию выражения ⟨χ|𝑔[𝑥(𝑡),𝑡]𝑔[𝑥(𝑠),𝑠]|ψ⟩_𝑆0.

Но это выражение мы уже встречали в соотношении (7.15), с той лишь разницей, что вместо 𝑔 там стояло 𝑉. Поэтому мы можем написать

⟨χ|𝑔[𝑥(𝑡),𝑡]𝑔[𝑥(𝑠),𝑠]|ψ⟩

_𝑆0

=

=

∫∫

χ*(4)

𝑔[𝑥(𝑡

₄

),𝑡

₄

]

𝐾

₀

(4,3)

𝑔[𝑥(𝑡

₃

),𝑡

₃

]

ψ(3)

𝑑𝑥

₃

𝑑𝑥

₄

,

(7.19)

Подставив результат в соотношение (7.18), получим окончательное выражение для первой борновской поправки (𝑖/ℏ)⟨χ|σ|ψ⟩_𝑆0.