Квантовая механика и интегралы по траекториям

Расчёт сдвига энергии состояния. При вычислении амплитуд переходов мы рассматривали лишь те состояния, у которых 𝑛≠𝑚. Обратимся теперь к случаю, когда 𝑚=𝑛. Рассмотрев члены нулевого и первого порядков в разложении теории возмущений, имеем

λ

_𝑚𝑚

=

1-

𝑖

ℏ

_𝑇

∫

 

𝑉

_𝑚𝑚

(𝑡)

𝑑𝑡

.

(6.112)

Если 𝑉 не зависит от времени, то λ_𝑚𝑛=1-(𝑖/ℏ)𝑉_𝑚𝑚𝑇. Что означает этот результат? Можно ожидать, что добавка к основному гамильтониану потенциала 𝑉 приведёт к тому, что энергии всех состояний системы несколько изменятся. Новые значения энергий можно записать как 𝐸_𝑚+Δ𝐸_𝑚. Зависящая от времени часть волновой функции, описывающей это состояние, будет теперь иметь вид exp[(-𝑖/ℏ)(𝐸_𝑚+Δ𝐸_𝑚)𝑡] вместо экспоненты exp(-𝑖/ℏ)𝐸_𝑚𝑡, которая была раньше.

Вследствие этого за время 𝑇, в течение которого действует возмущающий потенциал, возникает относительная разность фаз, выражаемая экспоненциальным множителем

exp

⎧

⎪

⎩

-

𝑖

ℏ

Δ

𝐸

_𝑚

𝑇

⎫

⎪

⎭

.

С точностью до первого порядка разложение этого множителя в ряд по времени имеет вид 1-(𝑖/ℏ)Δ𝐸_𝑚𝑇. Отсюда видно, что в первом порядке величина сдвига энергии в состоянии 𝑚, обусловленная потенциалом 𝑉, составляет

Δ𝐸

_𝑚

=

𝑉

_𝑚𝑚

.

(6.113)

Такой вывод выражения для сдвига энергии в первом порядке теории возмущений неудовлетворителен в случае, когда система вырождена, т.е. если вначале имеется очень много состояний с одной и той же энергией. Оказывается, в этом случае члены второго порядка по 𝑉 дают эффекты такой же величины, что и члены первого. Учёт членов второго порядка в разложении матричного элемента перехода даёт

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐸_𝑚𝑇}

λ

_𝑚𝑚

=

1-

𝑖

ℏ

𝑉

_𝑚𝑚

𝑇-

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

⎫²

⎪

⎭

×

×

 

∑

^𝑘

_𝑇

∫

 

_𝑡4

∫

 

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)(𝐸_𝑘-𝐸_𝑚)(𝑡₄-𝑡₃)}

𝑑𝑡

₃

𝑑𝑡

₄

𝑉

_𝑚𝑘

𝑉

_𝑘𝑚

.

(6.114)

Предположим сначала, что вырождения нет. Рассмотрим первый член ряда при 𝑘=𝑚, который является членом второго порядка. Интеграл в этом члене равен 𝑇²/2. Интегралы в членах с 𝑘≠𝑚 могут быть также легко вычислены:

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐸_𝑚𝑇}

λ

_𝑚𝑚

=

1-

𝑖

ℏ

𝑉

_𝑚𝑚

𝑇-

1

2ℏ²

𝑉

₂

^𝑚𝑚

𝑇²

-

-

 

∑

^𝑘≠𝑚

𝑖|𝑉_𝑘𝑚|²

(𝐸_𝑚-𝐸_𝑘)ℏ

⎧

⎨

⎩

𝑇

-

1-exp[-𝑖𝑇(𝐸_𝑘-𝐸_𝑚)/ℏ]

(𝑖/ℏ)(𝐸_𝑘-𝐸_𝑚)

⎫

⎬

⎭

.

(6.115)

Первые три члена в правой части этого уравнения представляют собой просто разложение экспоненты exp(-𝑖𝑉_𝑚𝑚𝑇/ℏ). Первый из суммируемых членов будет пропорционален 𝑇, и его можно интерпретировать как изменение энергии во втором порядке разложения. Это означает, что добавка к энергии не просто равна 𝑉_𝑚𝑚, а содержит ещё поправки высшего порядка. С учётом поправок второго порядка выражение для сдвига энергии запишется в виде

Δ𝐸

_𝑚

=

𝑉

_𝑚𝑚

-

 

∑

^𝑘≠𝑚

𝑉_𝑚𝑘𝑉_𝑘𝑚

𝐸_𝑚-𝐸_𝑘

.

(6.116)

Во втором порядке это равенство даёт точное выражение для сдвигов уровней энергии невырожденных состояний. Следует заметить, что этот результат легче получить обычными методами, т.е. решая уравнение

(𝐻+𝑉)φ

=

𝐸φ

.

(6.117)

Более того, обычный подход, основанный на уравнении (6.117), позволяет проще трактовать вырожденные состояния. Однако нашей целью здесь было привести пример использования амплитуды перехода, а не отыскивать простейшие формулы для расчёта энергетических сдвигов.

В действительности имеются более сложные задачи, связанные с изменением энергии, в применении к которым метод амплитуд перехода оказывается наипростейшим. В этих задачах схема, которую мы старались пояснить выше, сводится к нахождению членов ряда, пропорциональных 𝑇, 𝑇² и т.д. Затем, если мы вспомним, что амплитуда вероятности пребывания системы в начальном состоянии пропорциональна экспоненте exp(-𝑖Δ𝐸𝑇/ℏ) и что ряд теории возмущений эквивалентен разложению этой экспоненты, мы сможем написать правильное выражение для Δ𝐸.

До сих пор мы ещё не рассмотрели последний член в формуле (6.115). Если состояние 𝐸_𝑘 лежит в непрерывном спектре, мы должны определить смысл знаменателей в формуле (6.116). Если мы будем понимать их в смысле главного значения, как мы это делали при рассмотрении членов второго порядка в случае 𝑛≠𝑚, то можно показать, что эти дополнительные члены дадут вклад, пропорциональный 𝑇, и приведут к поправке в уравнении (6.116)

Δ'𝐸

_𝑘

=

-𝑖π

 

∑

^𝑘

δ(𝐸

_𝑚

-𝐸

_𝑘

)

𝑉

_𝑚𝑘

𝑉

_𝑘𝑚

.

(6.118)

Однако эта величина не может быть поправкой к энергии, так как она чисто мнимая, а энергия должна быть действительной величиной. Обозначим эту поправку через -𝑖γ/2 (множитель ½ вводится для удобства) и запишем

Δ𝐸

_𝑘

-

𝑖γ

2

=

𝑉

_𝑚𝑚

 

∑

^𝑘

|𝑉_𝑚𝑘|²

𝐸_𝑚-𝐸_𝑘-𝑖ε

.

(6.119)

Отсюда следует, что амплитуда перехода λ_𝑚𝑚, означающая, что система очень долго будет оставаться в состоянии 𝑚, пропорциональна экспоненте

exp

⎡

⎢

⎣

-𝑖

⎧

⎪

⎩

Δ

𝐸

_𝑚

-

𝑖γ

2

⎫

⎪

⎭

𝑇

⎤

⎥

⎦

=

exp[-𝑖(

Δ

𝐸

_𝑚

)𝑇]

exp

⎧

⎪

⎩

-

γ^𝑇

2

⎫

⎪

⎭

.