Читаем Квантовая механика и интегралы по траекториям полностью

Квантовая механика и интегралы по траекториям

В соответствии с принятым нами соглашением относительно записи элемента объёма в импульсном пространстве число состояний, имеющих импульсы в элементе объёма 𝑑³𝐩₂, равно 𝑑³𝐩₂/(2πℏ)³ = 𝑝² 𝑑𝑝 𝑑Ω/(2πℏ)³, где 𝑑Ω — элемент телесного угла, содержащий вектор импульса 𝐩₂. Дифференциал энергии 𝑑𝐸 и элементарный объём в пространстве импульсов связаны соотношением

𝑑𝐸

𝑑

𝑝²

2𝑚

𝑝 𝑑𝑝

𝑚

(6.89)

Таким образом, плотность импульсных состояний частиц, вылетающих в телесный угол 𝑑Ω,

𝑑ρ(𝐸)

𝑑𝐸

𝑑³𝐩₂

(2πℏ)³

𝑚𝑝 𝑑Ω

(2πℏ)³

ρ(𝐸) 𝑑

(6.90)

Подставив эти соотношения в формулу (6.86), определим вероятность перехода за 1 сек в элемент телесного угла 𝑑Ω:

𝑑𝑃

𝑑𝑡

⎧

⎪

⎩

2πℏ²

⎫²

⎪

⎭

𝑚𝑝 𝑑

|𝑣(𝐪)|²

(6.91)

Обозначим эффективную площадь мишени (эффективное сечение рассеяния в телесный угол 𝑑Ω) как 𝑑σ (ср. § 4 и 6 ). Так как в качестве исходных мы взяли волновые функции φ_𝑛, нормированные на единичный объём (другими словами, относительная вероятность обнаружить частицу в каком-либо единичном объёме равна у нас единице), то число частиц, попадающих на площадь 𝑑σ в единичное время, равно произведению эффективного сечения на скорость налетающих частиц 𝑢₁=𝑝₁/𝑚. Поэтому

𝑑𝑃

𝑑𝑡

𝑑

𝑢

₁

𝑑σ

𝑝₁

𝑚

𝑑σ

(6.92)

Для эффективного сечения отсюда следует выражение

𝑑σ

𝑑Ω

⎧

⎪

⎩

𝑚

2πℏ²

⎫²

⎪

⎭

|𝑣(𝐪)|²

(6.93)

которое в точности совпадает с ранее полученным выражением

Задача 6.23. Покажите, что для сечения 𝑑σ/𝑑Ω получится тот же самый результат и в том случае, если волновая функция φ_𝑛 нормирована на единицу в некотором произвольном объёме 𝑉.

Задача 6.24. Пусть потенциал 𝑉 — периодическая функция времени. Например, положим 𝑉(𝑥,𝑡) = 𝑉(𝑥)(𝑒^𝑖ω𝑡+𝑒^-𝑖ω𝑡). Покажите, что вероятность перехода мала, если только конечное состояние не совпадает с одним из следующих двух состояний: 1) состояние, энергия которого 𝐸_кон=𝐸_нач+ℏω (это будет соответствовать поглощению энергии), или 2) состояние, где 𝐸_кон=𝐸_нач-ℏω (что соответствует излучению энергии). Это означает, что вид формулы (6.86) не изменяется, однако плотность состояний ρ(𝐸) должна вычисляться для этих новых значений 𝐸. Аналогично соотношению (6.87) мы имеем

𝑑𝑃(𝑛→𝑚)

𝑑𝑡

2π

ℏ

|𝑀

_𝑛→𝑚

|²

[δ(𝐸

_𝑚

-𝐸

_𝑛

-ℏω)

+δ(𝐸

_𝑚

-𝐸

_𝑛

+ℏω)]

(6.94)

Задача 6.25. Явление фотоэффекта показывает, что не только уравнениям механики, но и всем электродинамическим соотношениям следует придать квантовую форму. Это явление заключается в том, что свет частоты ω, попадая на тонкий слой металла, с определённой вероятностью вызывает испускание электрона с энергией ℏω. Возможен ли такой эффект, если вещество подчиняется квантовым законам, а свет по-прежнему будет рассматриваться как непрерывная волна? Какие соображения (используя результаты задачи 6.24) вы можете привести в пользу того, что нам необходимо отказаться от аппарата классической электродинамики?

Задача 6.26. Предположим, что мы имеем два дискретных энергетических уровня 𝐸₁ и 𝐸₂ и ни один из них не принадлежит непрерывному спектру. Пусть переход вызывается потенциалом вида 𝑉(𝑥,𝑡) = 𝑉(𝑥)𝑓(𝑡). Покажите, что вероятность перехода составит

𝑃(𝑛→𝑚)

|𝑉

₁₂

|²

|φ(ω

₀

)|²

(6.95)

если функцию 𝑓(𝑡) можно представить в виде интеграла Фурье

𝑓(𝑡)

_∞

∫

^-∞

φ(ω)

𝑒

^𝑖ω𝑡

𝑑ω

2π

(6.96)

и положить ω₀=(𝐸₂-𝐸₁)/ℏ. В случае, когда 𝑓(𝑡) — известная из теории шумов статистически нерегулярная функция (так называемый фильтрованный белый шум), величина φ(ω), определяемая обратным преобразованием

φ(ω)

_𝑇

∫

^-𝑇

𝑓(𝑡)

𝑒

^𝑖ω𝑡

𝑒𝑡

(6.97)

оказывается зависящей от размеров 𝑇 области изменения переменной интегрирования 𝑡, 𝑇. Если 𝑇 очень велико, то можно показать, что квадрат абсолютной величины |φ(ω₀)|² пропорционален 𝑇. В итоге мы получим вероятность перехода, пропорциональную произведению времени и «интенсивности» 𝑓 на единицу интервала частоты, взятую при значении ω₀ («интенсивность», или «мощность», равна среднеквадратичному значению функции 𝑓 за время 1 сек). Таким образом, вероятность перехода атома в область непрерывного спектра пропорциональна, во-первых, времени экспозиции и, во-вторых, интенсивности поглощения света с частотой (𝐸₂-𝐸₁)/ℏ.

Высшие члены разложения. Интересно рассмотреть второй член ряда теории возмущений. Он особенно важен в тех задачах, где для интересующих нас состояний 𝑚 и 𝑛 потенциал 𝑉_𝑚𝑛. Допустим, что в такой задаче имеются другие состояния 𝑘≠𝑚 для которых 𝑉_𝑘𝑚≠0. Член первого порядка равен нулю, а поскольку 𝑛≠𝑚, то член нулевого порядка также обращается в нуль. Поэтому первый член, который следует учитывать при вычислении амплитуды перехода, является членом второго порядка.

Предположим, что потенциал 𝑉 не зависит от времени 𝑡. Тогда член второго порядка в матричном элементе перехода будет равен λ²_𝑚𝑛, и если 𝑇=𝑡₂-𝑡₁, то из соотношения (6.74) будет следовать, что

𝑒

^{(𝑖/ℏ)(𝐸_𝑚𝑡₂-𝐸_𝑛𝑡₁)}

₍₂₎

^𝑚𝑛

ℏ²

∑

^𝑘

𝑉

_𝑚𝑘

𝑉

_𝑘𝑛

_𝑇