Квантовая механика и интегралы по траекториям

Переходы первого порядка. Рассмотрим прежде всего случай, когда конечное состояние системы 𝑚 отличается от её начального состояния 𝑛, и ограничимся только первым борновским приближением, т.е. вторым членом ряда (6.69). Такой подход оправдан для малых значений потенциала 𝑉. Амплитуда перехода из состояния 𝑚 в состояние 𝑛

λ

₍₁₎

^𝑚𝑛

=-

𝑖

ℏ

_𝑡2

∫

^𝑡₁

𝑒

^{(𝑖/ℏ)(𝐸_𝑛-𝐸_𝑚)𝑡}

𝑉

_𝑚𝑛

(𝑡)

𝑑𝑡

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)(𝐸_𝑛𝑡₂-𝐸_𝑚𝑡₁)}

.

(6.77)

Это очень важный частный случай нестационарной теории возмущений. В качестве первого примера предположим, что 𝑉(𝑥,𝑡)=𝑉(𝑥), т.е. что потенциал не содержит явной зависимости от времени. Если мы рассмотрим теперь интервал от 𝑡=0 до 𝑡=𝑇, то (поскольку матричный элемент 𝑉_𝑚𝑛 не зависит от времени) получим

λ

₍₁₎

^𝑚𝑛

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

(𝐸

_𝑛

𝑡

₂

-𝐸

_𝑚

𝑡

₁

)

⎤

⎥

⎦

=

=-

𝑖

ℏ

𝑉

_𝑚𝑛

_𝑇

∫

⁰

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

(𝐸

_𝑛

-𝐸

_𝑚

)𝑡

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑡

=

𝑉

_𝑚𝑛

exp[(𝑖/ℏ)(𝐸_𝑛-𝐸_𝑚)]-1

𝐸_𝑚-𝐸_𝑛

.

(6.78)

Следовательно, вероятность перехода за интервал времени, равный 𝑇,

𝑃(𝑛→𝑚)

=

|λ

₍₁₎

^𝑚𝑛

|²

=

|𝑉

_𝑚𝑛

|²

⎡

⎢

⎣

4sin²

(𝐸_𝑛-𝐸_𝑚)𝑇

2ℏ

⎤

⎥

⎦

(𝐸

_𝑛

-𝐸

_𝑚

)

^-2

.

(6.79)

Мы видим, что по крайней мере для большого интервала 𝑇 эта вероятность является быстро осциллирующей функцией от разности энергий 𝐸_𝑛-𝐸_𝑚. Если значения энергии 𝐸_𝑛 и 𝐸_𝑚 достаточно сильно отличаются друг от друга, т.е. если |𝑉_𝑚𝑛|≪|𝐸_𝑚-𝐸_𝑛|, то вероятность 𝑃(𝑛→𝑚) будет очень мала. Это означает, что чрезвычайно мала вероятность найти значительное различие в энергиях начального и конечного состояний системы, подверженной действию очень слабого стационарного возмущения. Можно спросить, каким образом вообще малое возмущение 𝑉_𝑚𝑛 может привести к значительному изменению энергии 𝐸_𝑚-𝐸_𝑛? Ответ таков: мы рассматриваем возмущение 𝑉, внезапно возникающее в некоторый момент времени 𝑡=0, поэтому точное указание этого момента уже само по себе в силу принципа неопределённости допускает большую неопределённость значения энергии [см. формулу (5.19) и связанное с ней обсуждение].

Задача 6.20. Предположим, что потенциал 𝑉 сначала плавно возрастает, а затем плавно уменьшается. Пусть, например, 𝑉(𝑥,𝑡)=𝑉(𝑥)𝑓(𝑡) — гладкая функция, определяемая условиями

𝑓(𝑡)

=

⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

1

2𝑒^γ𝑡

, если 𝑡=0,

1-

1

2𝑒^γ𝑡

, если 0 < 𝑡 <

𝑇

2

,

1-

1

2𝑒^-γ(𝑇-1)

, если

𝑇

2

< 𝑡 < 𝑇,

1

2𝑒^{-γ(𝑡-𝑇)}

, если 𝑡 > 𝑇

(6.80)

(фиг. 6.12). Допустим далее, что фактор 1/γ, определяющий временной рост функции 𝑓(𝑡), намного меньше величины 𝑇 (1/γ ≪ 𝑇).

Фиг. 6.12. Зависимость от времени потенциала, обусловливающего переход из состояния 𝑚 в состояние 𝑛.

Как только зависимость от времени 𝑓(𝑡) становится более слабой, т.е. разрывы остаются лишь в производных существенно более высоких порядков, вероятность перехода уменьшается.

Кроме того, предположим, что γ ≪ (𝐸_𝑚-𝐸_𝑛). Покажите что величина вероятности (6.79) уменьшается в этом случае в ξ раз, где ξ={γ²/[γ²+(𝐸_𝑚-𝐸_𝑛)]}². При определении функции 𝑓(𝑡) в виде (6.80) мы имеем ещё разрывы второй производной по времени; более гладкие функции приводят к ещё большему уменьшению величины 𝑃(𝑛→𝑚).

Может случиться, что значения энергии 𝐸_𝑚 и 𝐸_𝑛 будут в точности равны друг другу; в этом случае вероятность перехода 𝑃(𝑛→𝑚) = |𝑉_𝑚𝑛|² 𝑇²/ℏ² и возрастает пропорционально квадрату времени. Это означает, что понятие вероятности перехода на единицу времени в данном случае не имеет смысла. Указанная выше формула применима только для достаточно малых значений 𝑇, таких, что 𝑉_𝑚𝑛𝑇 ≪ ℏ. Если у нас имеются только два состояния с одинаковой энергией, то оказывается, что вероятность обнаружить систему в первом из этих состояний равна cos²(|𝑉_𝑚𝑛|𝑇/ℏ), а вероятность её обнаружения во втором состоянии равна sin²(|𝑉_𝑚𝑛|𝑇/ℏ), так что наша формула является всего лишь первым приближением к этим выражениям.

Задача 6.21. Рассмотрим такой частный случай, когда возмущающий потенциал 𝑉 не имеет никаких матричных элементов, кроме тех, что описывают переходы между уровнями 1 и 2; будем считать, что эти уровни вырождены, т.е. энергия 𝐸₁=𝐸₂. Пусть 𝑉₁₂=𝑉₂₁=𝑣, a 𝑉₁₁, 𝑉₂₂ и все другие матричные элементы 𝑉_𝑚𝑛 равны нулю. Покажите, что

λ

₁₁

=

1-

𝑣²𝑇²

2ℏ²

+

𝑣⁴𝑇⁴

24ℏ⁴

-…

=

cos

𝑣𝑇

ℏ

,

(6.81)

λ

₁₂

=

-𝑖

𝑣𝑇

ℏ

+𝑖

𝑣³𝑇³

6ℏ³

-…

=

-𝑖 sin

𝑣𝑇

ℏ

.

(6.82)

Задача 6.22. В задаче 6.21 мы имели равенство 𝑉₁₂=𝑉₂₁, поэтому матричный элемент 𝑉₁₂ является действительной величиной. Покажите, что и в том случае, когда 𝑉₁₂ — комплексная величина, физические результаты остаются теми же самыми (при этом следует положить 𝑣=|𝑉₁₂|).