Квантовая механика и интегралы по траекториям

Здесь 𝐩_𝑏 — импульс электрона, вылетающего в направлении 𝐑_𝑏, а 𝐩_𝑎 —импульс электрона, движущегося в направлении — 𝐑_𝑎. Абсолютная величина импульса равна 𝑝, и она почти не меняется при упругом рассеянии электрона на относительно тяжёлом атоме.

Фиг. 6.9. Учёт членов второго порядка в разложении теории возмущений.

Как на фиг. 6.2 (случай 3), здесь изображено рассеяние электрона атомным потенциалом в двух различных точках. Электрон выходит из точки 𝑎 и движется как свободная частица до точки 𝑐, где он рассеивается; после этого электрон снова движется как свободная частица до точки 𝑑, где происходит ещё одно рассеяние, и далее снова продолжается свободное движение вплоть до точки 𝑏, где электрон попадает в счётчик. Точки 𝑐 и 𝑑 могут находиться в любом месте пространства. Атомный потенциал в этих точках зависит от длин радиусов-векторов 𝐫_𝑐 и 𝐫_𝑑, измеряемых от центра атома 𝑂.

Можно было бы ожидать, что, когда борновское приближение становится недостаточно точным, имеет смысл вычислять в качестве поправки члены второго порядка и т. д. Но на практике оказывается, что в выражениях типа (6.59) мы встречаемся с весьма медленно сходящимися рядами. Если второй член даёт сравнительно заметную поправку (например, ~ 10%), то каждый следующий член даст ненамного меньший вклад, так что получить существенное улучшение результата довольно нелегко. Конечно, в задачах, где погрешности борновского приближения сравнительно малы (скажем, меньше 1%), учёт второго члена является вполне хорошим способом вычисления поправок.

Описание рессеяния с помощью волновой функции. В рассмотренных выше экспериментах по рассеянию мы предполагали, что в начальном состоянии электрон был свободной частицей с импульсом 𝐩_𝑎. Предполагалось также, что величину этого импульса можно определить методом измерения времени пролёта (т.е. по полному времени 𝑇, необходимому для прохождения расстояния 𝑅_𝑎+𝑅_𝑏).

Конечно, не обязательно использовать именно этот способ; нас вполне удовлетворит любое устройство, которое позволит определять величину импульса. Поэтому обобщим рассмотренную картину процесса рассеяния, воспользовавшись понятием волновой функции.

Допустим, нам известно, что влетающий электрон имеет импульс 𝑝_𝑎 и энергию 𝐸_𝑎=𝑝²_𝑎/2𝑚. Следовательно, волновая функция налетающих электронов

φ

_𝑎

=

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐩_𝑎⋅𝐫}

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐸_𝑎𝑡}

.

(6.60)

Использовав теперь два первых члена соотношения (6.25), мы можем в первом приближении теории возмущений записать следующее выражение для волновой функции вылетающих электронов:

ψ(𝐑

_𝑏

,𝑡

_𝑏

)

=

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐩_𝑎⋅𝐑_𝑏}

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐸_𝑎𝑡_𝑏}

-

-

𝑖

ℏ

_𝑡𝑏

∫

⁰

_𝐫

∫

 

𝐾

₀

(𝐑

_𝑏

,𝑡

_𝑏

;𝐫,𝑡)

𝑉(𝐫,𝑡)

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐩_𝑎⋅𝐫}

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐸_𝑎𝑡}

𝑑³𝐫

𝑑𝑡

.

(6.61)

Первый член в этом выражении представляет собой дебройлевскую волну свободных частиц, которые проходят область действия потенциала, не рассеявшись. Второй член — амплитуда рассеянных электронов. Если обозначить его через φ_𝑠, то эта функция опишет рассеянную волну.

Задача 6.13. Предположим, что потенциал 𝑉(𝐫,𝑡) в действительности не зависит от времени 𝑡. Подставив в формулу (6.61) выражение ядра 𝐾₀, соответствующее движению свободных частиц, и проинтегрировав полученный результат по переменной 𝑡, покажите, что

ψ(𝐑

_𝑏

,𝑡

_𝑏

)

=

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐸_𝑏𝑡_𝑏}

+[

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐩_𝑎⋅𝐑_𝑏}

+

+

𝑚

2πℏ²

_𝐫𝑐

∫

 

1

𝑟_𝑏𝑐

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑝𝑟_𝑏𝑐}

𝑉(𝐫

_𝑐

)

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐩_𝑎⋅𝐫_𝑐}

𝑑³𝐫

_𝑐

,

(6.62)

где 𝑟_𝑏𝑐 — расстояние от конечной точки 𝑏 до переменной точки интегрирования 𝑐, а 𝑝 — абсолютная величина импульса электрона.

Предположив снова, что на небольших по сравнению с 𝑆_𝑎 и 𝑆_𝑏 расстояниях потенциал спадает до нуля, покажите, что выражение (6.62) может быть записано как

ψ(𝐑

_𝑏

,𝑡

_𝑏

)

=

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐸_𝑏𝑡_𝑏}

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐩_𝑎⋅𝐑_𝑏}

+

𝑓

𝑒^{(𝑖/ℏ)𝑝𝑅_𝑏}

𝑅_𝑏

,

(6.63)

где амплитуда рассеяния 𝑓 следующим образом выражается через функцию 𝑣(𝑞):

𝑓

=

𝑚

2πℏ²

𝑣(𝐪)

(6.64)

[см. соотношение (6.35)].

Последний член формулы (6.63), функцию (𝑓/𝑅_𝑏) exp (𝑖𝑝𝑅_𝑏/ℏ), можно рассматривать как пространственную часть волновой функции рассеянных частиц. Она имеет вид сферической волны, расходящейся из центра рассеивающего атома. Для каждого определённого угла рассеяния амплитуда этой волны зависит от угла через функцию 𝑓, которая, как видно из формулы (6.64), изменяется в зависимости от величины передаваемого импульса 𝑞. Таким образом, полная волновая функция электронов после рассеяния может рассматриваться как сумма двух членов. Первый член представляет собой плоскую волну нерассеянных электронов exp (𝑖𝐩_𝑎⋅𝐑_𝑏/ℏ), второй член — сферическую волну рассеянных электронов, как показано на фиг. 6.10. Используя такой подход, выведите формулу для эффективного сечения σ.

Фиг. 6.10. Рассеяние электронного пучка на атомном ядре.