Квантовая механика и интегралы по траекториям

Если частицы, вылетающие из начала координат, сталкиваются на расстоянии 𝑅_𝑎 с мишенью площадью 𝑑σ то эти частицы уже не попадут в область 𝑑, где они имели бы разброс в круге с площадью [(𝑅_𝑎+𝑅_𝑏)/𝑅_𝑎]²𝑑σ. Вместо этого они полетят в телесном угле 𝑑Ω в направлении 𝑏 и будут, следовательно, иметь разброс по площади 𝑅²_𝑏𝑑Ω, как показано на фиг. 6.8. Поэтому отношение вероятности попадания частицы в точку 𝑏 к вероятности её попадания в точку 𝑑, на пути к которой не было соударений, равно обратному отношению этих площадей:

𝑃_𝑏

𝑃_𝑑

=

(𝑅_𝑎+𝑅_𝑏)² 𝑑σ /𝑅

₂

^𝑎

𝑅

₂

^𝑎 𝑑Ω

.

(6.43)

Сравнивая выражения (6.42) и (6.43), мы видим, что эффективное сечение рассеяния в единицу телесного угла есть

𝑑σ

𝑑Ω

=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2πℏ²

⎫2

⎪

⎭

|𝑣(𝐪)|²

.

(6.44)

Основное преимущество такого применения понятия эффективного сечения по сравнению с рассмотренным выше соотношением (6. 40) заключается в том, что выражение (6.44) не зависит от конкретных экспериментальных условий. Поэтому эффективные сечения, полученные из разных экспериментов, можно сравнивать непосредственно, тогда как для вероятностей, отнесённых к единице объёма, такое сравнение невозможно.

Следует подчеркнуть, что понятие эффективной мишени является чисто классическим и представляет собой лишь удобный способ рассмотрения вероятностей рассеяния. Между величиной эффективного сечения и размерами рассеивающего атома не существует прямой связи и нельзя представлять себе, что механизм рассеяния локализован в области именно таких размеров. Например, тень, которая при классическом рассмотрении должна появиться позади мишени, на самом деле вовсе не будет обладать свойствами классической тени с резкими границами; так как мы имеем дело с волновым процессом, то эта тень будет искажена дифракцией.

Различные выражения для атомного потенциала. На примере конкретных задач здесь показаны результаты, полученные при различных предположениях о виде атомного потенциала 𝑉(𝑟).

Задача 6.6. Пусть мы имеем потенциал, соответствующий центральным силам, т.е. 𝑉(𝐫)=𝑉(𝑟). Покажите, что функция 𝑣(𝐪) может быть записана в виде

𝑣(𝐪)

=

𝑣(𝑞)

=

4πℏ

𝑞

_∞

∫

⁰

𝑟

⎧

⎪

⎩

sin

𝑞𝑟

ℏ

⎫

⎪

⎭

𝑉(𝑟)

𝑑𝑟

.

(6.45)

Если допустить, что 𝑉(𝑟) является кулоновским потенциалом 𝑍𝑒²/𝑟, то интеграл в выражении для 𝑣(𝑞) оказывается осциллирующим вблизи верхнего предела, т.е. при 𝑟→∞. Тем не менее такой интеграл можно сделать сходящимся с помощью искусственного введения в подынтегральное выражение множителя 𝑒^-ε𝑟 и после вычисления интеграла перейти к пределу при ε→0. Используя этот приём, покажите, что в итоге получается сечение резерфордовского рассеяния

σ

_𝑅

=

4𝑍𝑒⁴𝑚²

𝑞⁴

=

𝑍𝑒⁴

16(𝑚𝑢²/2)[sin(θ/2)]⁴

,

(6.46)

где 𝑒 — заряд электрона,

𝑞

=

2𝑝 sin

θ

2

=

2𝑚𝑢 sin

θ

2

,

(6.47)

а θ — угол между векторами 𝐢_𝑎 и 𝐢_𝑏.

Результат, полученный в задаче 6.6, случайно оказывается точным в том смысле, что первое борновское приближение даёт точную величину вероятности рассеяния на кулоновском потенциале. Это не означает, что члены высшего порядка обратятся в нуль; дело в том, что они вносят вклад лишь в фазу амплитуды рассеяния. Поскольку вероятность равна квадрату модуля амплитуды, она не зависит от фазы. Таким образом, первое борновское приближение даёт правильное значение вероятности рассеяния, но не является точным выражением для амплитуды. Случай кулоновского рассеяния любопытен ещё и по ряду других причин. В частности, строго классическое (т.е. проделанное в предположении, что электрон ведёт себя как заряженная точечная масса) исследование этого рассеяния приводит к тому же самому результату.

Задача 6.7. Предположим, что потенциал 𝑉(𝐫) создаётся зарядом, распределённым с плотностью ρ(𝐫), так что

∇²𝑉(𝐫)

=

4π𝑒ρ(𝐫)

.

(6.48)

Пусть плотность ρ(𝐫) спадает до нуля при |𝐫|→∞. Умножая соотношение (6.48) на exp [𝑖𝐪⋅(𝐫/ℏ)] и дважды интегрируя по переменной 𝐫, покажите что функция 𝑣(𝐪) может быть следующим образом выражена через плотность ρ:

𝑣(𝐪)

=

4πℏ²𝑒²

𝑞²

_𝐫

∫

 

𝑒

^{(𝑖/ℏ)(𝐪⋅𝐫)}

ρ(𝐫)

𝑑³𝐫

.

(6.49)

Атом можно описать, используя понятие плотности заряда. В области атомного ядра эта плотность заряда предполагается сингулярной, так что её можно представить в виде δ-функции от расстояния 𝑟 с коэффициентом 𝑍, равным заряду ядра. Если ρ_𝑒 — плотность атомных электронов, то функция 𝑣(𝐪) в этом случае запишется как

𝑣(𝐪)

=

4πℏ²𝑒²

𝑞²

⎡

⎢

⎣

𝑍-

_𝐫

∫

 

ρ

_𝑒

(𝐫)

𝑒

^{(𝑖/ℏ)(𝐪⋅𝐫)}

𝑑³𝐫

⎤

⎥

⎦

.

(6.50)

Величину в скобках принято называть атомным формфактором. (Заметим, что точно с таким же формфактором мы встречаемся при изучении рассеяния рентгеновских лучей. Действительно, в теории рассеяния рентгеновских лучей доказано, что в этом случае основную роль играют атомные электроны, а не ядро. Поэтому формфактор для рентгеновских лучей будет тем же самым, что и в случае рассеяния электронов на атоме, если не считать того, что для рентгеновских лучей не нужно учитывать фактор 𝑍.