Читаем Квантовая механика и интегралы по траекториям полностью

Квантовая механика и интегралы по траекториям

§ 4. Рассеяние электрона на атоме

Математическое рассмотрение. Идею метода и формулы теории возмущений мы рассмотрели пока несколько формально. Чтобы выяснить физический смысл этой теории, рассмотрим теперь конкретную задачу о рассеянии быстрого электрона на атоме.

Рассмотрим эксперимент, в котором пучок электронов бомбардирует мишень из тонкой металлической фольги, а затем попадает на соответствующий счётчик, как это показано на фиг. 6.4.

Фиг. 6.4. Эксперимент с рассеянием электронов.

Электроны, испаряющиеся с электрода в точке 𝑎 собираются в пучок с помощью коллимирующих отверстий в экранах 𝑆 и 𝑆' и бомбардируют далее мишень из тонкой фольги в точке 𝑂. Бо'льшая часть электронов проходит по прямой без рассеяния (если, конечно, их энергия достаточно велика, а мишень достаточно тонкая), но некоторые электроны отклоняются при взаимодействии с атомами мишени и рассеиваются, например, под углом θ в точку 𝑏. Если счётчик в точке 𝑎 перемещать вверх и вниз, можно установить зависимость между относительным числом рассеяний и углом рассеяния θ.

Предположим, что энергия рассеивающихся частиц определяется методом измерения времени пролёта. Это означает, что мы фиксируем электрон, вылетающий из источника в некоторый момент времени, скажем 𝑡=0, и определяем, какова вероятность того, что он попадает в счётчик через некоторый промежуток времени, равный времени задержки 𝑇. Тогда можно непосредственно использовать наше выражение 𝐾(𝑏,𝑎), полученное для амплитуды перехода из одного положения в другое за некоторый определённый промежуток времени.

Можно упростить задачу, предположив, что взаимодействие является настолько слабым или фольга настолько тонкой, что каждый электрон будет взаимодействовать, как правило, лишь с одним атомом. Фактически для большинства экспериментов с рассеянием это предположение является весьма реальным. Более того, в целом ряде случаев многократное рассеяние также можно анализировать на основе простого однократного рассеяния на одном атоме. Поэтому мы ограничимся рассмотрением взаимодействий между отдельными электронами и каким-то одним атомом.

Фиг. 6.5. Геометрия задачи с рассеянием.

Электрон выходит из точки 𝑎 и движется как свободная частица до точки 𝑐, где он рассеивается атомным потенциалом 𝑉(𝑟). После рассеяния он попадает в счётчик, расположенный в точке 𝑏 на конце радиуса-вектора 𝐑_𝑏, проведённого от рассеивающего центра 𝑂. В этом случае электрон будет рассеян на угол θ, отсчитываемый от начального направления пучка. Этот процесс соответствует первому борновскому приближению. Если учесть амплитуды двух актов рассеяния, то получим второе борновское приближение, и т.д.

Выберем начало координат в центре атома. Пусть в этой системе, как показано на фиг. 6.5, электроны выходят из точки 𝑎 в момент времени 𝑡=0. С помощью счётчика, помещённого в точку 𝑏, мы узнаем, достигнет ли электрон точки 𝑏 в момент времени 𝑡=𝑇. Будем приближённо считать, что

1) взаимодействие может быть рассмотрено в первом борновском приближении, т.е. электрон рассеивается на атоме только один раз;

2) атом может быть представлен с помощью потенциала 𝑉(𝐫), фиксированного в пространстве и постоянного во времени.

На самом деле атом является очень сложной системой, и взаимодействие между электроном и атомом в действительности гораздо сложнее, чем это может быть представлено простым потенциалом 𝑉(𝐫). Электрон может возбудить или ионизовать атом и потерять при этом часть энергии. Можно показать, однако, что когда мы рассматриваем только упругие столкновения электрона с атомом (атом после столкновения остаётся в том же самом энергетическом состоянии, что и до столкновения), то второе предположение будет выполняться, если выполнено первое предположение.

Пусть 𝐑_𝑎 и 𝐑_𝑏 — векторы, соединяющие центр атома с точками, в которых электрон соответственно испускается и регистрируется. В расчётах мы примем, что длина векторов 𝐑_𝑎 и 𝐑_𝑏 много больше радиуса атома. Таким образом, мы предполагаем, что атомный потенциал 𝑉(𝐫) становится пренебрежимо малым на расстояниях, много меньших, чем |𝐑_𝑎| и |𝐑_𝑏|. Следовательно, большую часть времени пролёта электрон будет двигаться как свободная частица и только вблизи начала координат он испытает действие потенциала.

Первое борновское приближение содержит два члена, из которых нас будет интересовать лишь второй. Первый член, являющийся ядром 𝐾₀(𝑏,𝑎) для случая свободной частицы, был уже достаточно подробно нами изучен. Мы интересуемся вторым членом

𝐾

⁽¹⁾

(𝑏,𝑎)

𝑖

ℏ

∫

𝐾

₀

(𝑏,𝑐)

𝑉(𝑐)

𝐾

₀

(𝑐,𝑎)

𝑑τ

_𝑐

𝑖

ℏ

_𝑟

∫

_𝑇

∫

⁰

⎡

⎢

⎣

𝑚

2π𝑖ℏ(𝑇-𝑡)

⎤3/2

⎥

⎦

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚|𝐑_𝑎-𝐫|²

2ℏ(𝑇-𝑡)

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝑉(𝐫)

⎧

⎪

⎩

𝑚

2π𝑖ℏ𝑡

⎫3/2

⎪

⎭

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖𝑚|𝐑_𝑏-𝐫|²

2ℏ𝑡

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

𝑑³𝐫

𝑑𝑡

(6.28)

Через 𝐫 мы обозначили здесь вектор, соединяющий начало координат с точкой 𝑐, 𝑑³𝐫 — произведение дифференциалов всех компонент вектора 𝐫. Интегрирование по переменной 𝑡 даёт

𝐾

⁽¹⁾

(𝑏,𝑎)

𝑖

ℏ

⎧

⎪

⎩

𝑚

2π𝑖ℏ𝑇

⎫5/2

⎪