Квантовая механика и интегралы по траекториям

где 𝑑τ=𝑑𝑥𝑑𝑡. Эта формула, будучи прочитана справа налево, означает следующее: частица движется свободно от точки 𝑎 до точки 𝑑 и здесь рассеивается на потенциале, который в этой точке равен 𝑉(𝑑). Затем частица снова движется свободно от точки 𝑑 до точки 𝑐, где она рассеивается на потенциале 𝑉(𝑐). После чего частица движется от точки 𝑐 к точке 𝑏 опять как свободная частица. Мы суммируем по всем альтернативам, т.е. по всем пространственным точкам и моментам времени, где может произойти такое рассеяние.

Здесь мы молчаливо предполагали, что 𝑡_𝑐>𝑡_𝑑. Чтобы избежать усложнений, связанных с явным введением этого предположения в каждом, примере, будем пользоваться условием, введённым ранее в гл. 4 [см. соотношение (4.28)], и предполагать, что

𝐾(𝑏,𝑎)

=0 для 𝑡

_𝑏

<𝑡

_𝑎

.

(6.14)

Тогда равенство (6.13) будет выполняться без каких-либо ограничений во всей области интегрирования по переменным 𝑡_𝑐 и 𝑡_𝑑.

Читателя может заинтересовать вопрос, что произошло с коэффициентом ½, который, как легко видеть, был в формуле (6.7) и кажется пропущенным в соотношении (6.13). Отметим, что в формуле (6.13) область интегрирования по переменной 𝑡_𝑑 по-прежнему заключена в пределах от 𝑡_𝑎 до 𝑡_𝑏. Однако область интегрирования по переменной 𝑡_𝑐 ограничена тем, что точка 𝑡_𝑐 обязана теперь находиться между точками 𝑡_𝑑 и 𝑡_𝑏 вследствие условия (6.14). Такое ограничение уменьшает величину интеграла ровно на половину. Чтобы увидеть это более ясно, представим двойной интеграл (6.7) в виде

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]

𝑉[𝑥(𝑠'),𝑠']

𝑑𝑠'

𝑑𝑠

=

=

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

_𝑡𝑏

∫

^𝑠

𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]

𝑉[𝑥(𝑠'),𝑠']

𝑑𝑠'

𝑑𝑠

+

+

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

_𝑠

∫

^𝑡_𝑎

𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]

𝑉[𝑥(𝑠'),𝑠']

𝑑𝑠'

𝑑𝑠

.

(6.15)

Первый член в правой части этого соотношения удовлетворяет ограничениям, накладываемым условием (6.14). После изменения порядка интегрирования второй член справа можно записать как

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

_𝑡𝑏

∫

^𝑠'

𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]

𝑉[𝑥(𝑠'),𝑠']

𝑑𝑠'

𝑑𝑠

(6.16)

Если в этом выражении поменять местами переменные 𝑠 и 𝑠', то величина интеграла не изменится. Следовательно, первый и второй члены в правой части соотношения (6.15) равны и каждый из них есть половина величины первоначального интеграла. С помощью аналогичных соображений в выражении для ядра 𝐾^(𝑛) получается коэффициент 1/𝑛!

Задача 6.1. Допустим, что потенциал может быть записан как сумма 𝑈+𝑉, где 𝑉 мало по сравнению с 𝑈. Далее, пусть ядро, описывающее движение под действием одного из этих потенциалов, вычислимо (например, потенциал 𝑈 может быть квадратичным по переменной 𝑥; и не зависеть от времени). Покажите, что движение под действием суммарного потенциала 𝑈+𝑉 описывается соотношениями (6.4), (6.11), (6.13) и (6.14), если ядро 𝐾₀ заменить ядром 𝐾_𝑈, соответствующим движению только лишь под действием потенциала 𝑈. Таким образом, 𝑉 можно рассматривать как возмущение потенциала 𝑈. Можно сказать, что -(𝑖/ℏ)𝑉 представляет собой амплитуду вероятности рассеяния, обусловленного возмущающей частью потенциала (в расчёте на единицу объёма и на единицу времени). Ядро 𝐾_𝑈 — амплитуда, описывающая движение системы под действием невозмущённого потенциала 𝑈.

Задача 6.2. Предположим, что система состоит из двух частиц, взаимодействие которых описывается потенциалом 𝑉(𝑥,𝑦), где 𝑥 — координата первой, а 𝑦 — координата второй частицы [ср. § 8 гл. 3 и выражение (3.75)]. Если не учитывать этого взаимодействия, то движение частиц будет свободным.

Если потенциал равен нулю, то 𝐾_𝑉 — просто произведение двух ядер, соответствующих свободным частицам. Используя этот факт, получите ряд теории возмущений для величины 𝐾_𝑉(𝑥_𝑏, 𝑦_𝑏, 𝑡_𝑏; 𝑥_𝑎, 𝑦_𝑎, 𝑡_𝑎). Спрашивается, какими физическими соображениями диктуются различные члены этого ряда?

§ 2. Интегральное уравнение для ядра 𝐾_𝑉

Прежде чем применить результаты предыдущих параграфов к изучению конкретных примеров, получим некоторые общие математические соотношения, включающие ядра и волновые функции для систем, движущихся в потенциальном поле. Используя предыдущие результаты, можно записать соотношение (6.4) в виде

𝐾

_𝑉

(𝑏,𝑎)

=

𝐾

₀

(𝑏,𝑎)

-

𝑖

ℏ

∫

𝐾

₀

(𝑏,𝑐)

𝑉(𝑐)

𝐾

₀

(𝑐,𝑎)

𝑑τ

_𝑐

+

+

⎧

⎪

⎩

-

𝑖

ℏ

⎫

⎪

⎭

∫∫

𝐾

₀

(𝑏,𝑐)

𝑉(𝑐)

𝐾

₀

(𝑐,𝑑)

𝑉(𝑑)

𝐾

₀

(𝑑,𝑎)

𝑑τ

_𝑐

𝑑τ

_𝑎

+… .

(6.17)

Это выражение можно представить и в другом виде:

𝐾

_𝑉

(𝑏,𝑎)

=

𝐾

₀

(𝑏,𝑎)

-

𝑖

ℏ

∫

𝐾

₀

(𝑏,𝑐)

𝑉(𝑐)

[

𝐾

₀

(𝑐,𝑎)

-

-

𝑖

ℏ

∫

𝐾

₀

(𝑐,𝑑)

𝑉(𝑑)

𝐾

₀

(𝑑,𝑎)

𝑑τ

_𝑑

+…]

𝑑τ

_𝑐

.

(6.18)

Выражение в скобках имеет такой же вид, как и правая часть соотношения (6.17); суммирование в обоих случаях производится по бесконечному числу членов. Это означает, что ядро 𝐾_𝑉 можно записать как

𝐾

_𝑉

(𝑏,𝑎)

=

𝐾

₀

(𝑏,𝑎)

-

𝑖

ℏ

∫

𝐾

₀

(𝑏,𝑐)

𝑉(𝑐)

𝐾

₀

(𝑐,𝑎)

𝑑τ

_𝑐

.

(6.19)

что является точным выражением. Мы получили интегральное уравнение, определяющее ядро 𝐾_𝑉, в случае, когда известно ядро 𝐾₀ (заметим, что для ситуации, описанной в задаче 6.1, ядро 𝐾₀ нужно заменить на 𝐾_𝑈). Следовательно, проблема интегрирования по траекториям сведена нами к решению интегрального уравнения.