Квантовая механика и интегралы по траекториям

Собственныефункции и собственные значения. Действие оператора 𝒜 на волновые функции χ_{𝑎,𝑏,𝑐,…}, определённые в § 2 гл. 5, имеет очень простой вид:

𝒜

_{χ𝑎,𝑏,𝑐,…}

(𝑥)

=

𝑎

_{χ𝑎,𝑏,𝑐,…}

(𝑥)

.

(5.53)

Задача 5.11. Докажите справедливость этого соотношения. В том случае, когда функция χ удовлетворяет уравнению, подобному (5.53), мы будем говорить, что χ является собственной функцией оператора 𝒜, соответствующей его собственному значению 𝑎.

Если две физические величины измеримы одновременно, то операторы, соответствующие этим величинам, например 𝒜 и ℬ, будут удовлетворять некоторому интересному соотношению, а именно 𝒜(ℬ𝑓)=ℬ(𝒜𝑓). Это значит, что результат последовательного действия двух операторов не зависит от того, в каком порядке они расположены. Тогда говорят, что операторы коммутируют друг с другом:

𝒜ℬ

=

ℬ𝒜

Вообще говоря, мы не можем ожидать, что два любых оператора коммутируют, однако в данном частном случае это имеет место. Причина заключается в том, что физические величины 𝐴 и 𝐵 являются измеримыми одновременно; они могут составлять часть набора измеримых величин 𝐴, 𝐵, 𝐶, …, соответствующих одной и той же характеристической функции  _{𝑎,𝑏,𝑐,…}. Если в уравнении (5.53) оператор ℬ поместить перед оператором 𝒜, а величину 𝑏 поставить перед 𝑎, то равенство не нарушится, так что

𝒜(ℬχ)

=

𝒜(𝑏χ)

=

𝑏(𝒜χ)

=

𝑏𝑎χ

=

𝑎𝑏χ

.

(5.54)

Это справедливо, поскольку 𝑎 и 𝑏 — обычные числа, а не операторы. Точно так же

ℬ(𝒜χ)

=

ℬ(𝑎χ)

=

𝑎(ℬχ)

=

𝑎𝑏χ

.

(5.55)

Сравнение этих двух равенств доказывает коммутативность операторов ℬ и 𝒜, когда они действуют на какую-либо из функций χ_{𝑎,𝑏,𝑐,…}. Так как оба эти оператора линейны (т.е. не содержат операций, требующих учёта высших степеней функции χ), то соотношение коммутации должно выполняться для любой линейной комбинации функций χ.

Если χ-функции образуют «полный набор» (что является для них типичным), то в общем случае любую функцию мы можем представить в виде суммы таких линейных комбинаций. Следовательно, если операторы 𝐴𝐵 и 𝐵𝐴 дают один и тот же результат при действии на произвольную функцию, это означает, что операторы 𝐴 и 𝐵 коммутируют.

Задача 5.12. Покажите, что пространственную координату 𝑥 и 𝑥-компоненту импульса 𝑝_𝑥 нельзя измерить одновременно.

Возможны ситуации, когда набор коммутирующих операторов 𝒜, ℬ, 𝒞, … уже известен и требуется найти функции, которые им соответствуют (т.е. их собственные функции). Для этого нужно найти решения уравнений

𝒜χ=𝑎χ

,

ℬχ=𝑏χ

,

𝒞χ=𝑐χ

,

….

(5.56)

Предположим, например, что операторы 𝑥-й, 𝑦-й и 𝑧-й компонент импульса 𝑝_𝑥, 𝑝_𝑦 и 𝑝_𝑧 определены соответственно как [(ℏ/𝑖)(∂/∂𝑥)], [(ℏ/𝑖)(∂/∂𝑦)], [(ℏ/𝑖)(∂/∂𝑧)]. Спрашивается, каковы собственные функции этого набора операторов, соответствующие состоянию, в котором 𝑝_𝑥 имеет значение 𝑎, 𝑝_𝑦 — значение 𝑏, а 𝑝_𝑧 — значение 𝑐?

(Числа 𝑎, 𝑏, 𝑐, … являются здесь, конечно, собственными значениями.) Для этого мы должны решить уравнения

-

ℏ

𝑖

∂χ

∂𝑥

=𝑎χ,

-

ℏ

𝑖

∂χ

∂𝑦

=𝑏χ,

-

ℏ

𝑖

∂χ

∂𝑧

=𝑐χ.

(5.57)

С точностью до произвольного постоянного множителя решение этих уравнений имеет вид exp[(ℏ/𝑖)(𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧)] Это согласуётся с полученными выше выводами о том, что частица, имеющая данный импульс 𝐩, описывается волновой функцией exp(ℏ/𝑖)(𝐩⋅𝐫).

Разложение по собственным функциям оператора энергии. Различные выражения, содержащие собственные функции φ_𝑛, могут быть теперь истолкованы гораздо полнее. Рассмотрим, например, разложение (4.59) ядра 𝐾 в ряд по функциям φ_𝑛, являющимися решениями уравнения Шрёдингера с постоянным гамильтонианом:

𝐾(𝑥

₂

,𝑡

₂

;𝑥

₁

,𝑡

₁

)

=

 

∑

^𝑛

φ

_𝑛

(𝑥

₂

)

φ

_*

^𝑛

(𝑥

₁

)

exp

⎡

⎢

⎣

-

𝑖

ℏ

𝐸

_𝑛

(𝑡

₂

-𝑡

₁

)

⎤

⎥

⎦

.

(5.58)

Прежде всего заметим, что функция φ_𝑛(𝑥) является амплитудой вероятности обнаружения системы в положении 𝑥, если известно, что она находится в состоянии 𝑛. Поэтому в соответствии с нашими рассуждениями в § 2 гл. 5 сопряжённая ей функция φ*_𝑛(𝑥) является амплитудой вероятности найти систему в состоянии 𝑛, если она занимает положение 𝑥. На основе этого попробуем интерпретировать выражение (5.58) следующим образом. Амплитуда вероятности перехода из положения 1, соответствующего моменту времени 𝑡₁ в положение 2 в момент времени 𝑡₂ выражается в виде суммы по всем возможным состояниям. В данном случае эти возможные состояния будут различными энергетическими состояниями, в которых может происходить переход. Следовательно, мы должны просуммировать по всем этим состояниям произведение следующих членов: 1) φ*_𝑛(𝑥₁) — амплитуды вероятности найти систему в точке 𝑥₁ если известно, что она находится в состоянии 𝑛; 2) exp[-(𝑖/ℏ)𝐸_𝑛(𝑡₂-𝑡₁)] — амплитуды вероятности найти систему в состоянии 𝑛 в момент времени 𝑡₂, если в момент времени 𝑡₁ она была в состоянии 𝑛¹); 3) φ_𝑛(𝑥₂) — амплитуды вероятности найти систему в точке 𝑥₂, если мы знаем, что она находится в состоянии 𝑛.

¹) Эта амплитуда не связана с изменением состояния. В этом и заключено важное значение рассматриваемых нами функций φ_𝑛.