Квантовая механика и интегралы по траекториям

Можно дать и не столь строгую формулировку вышесказанного: вероятность того, что частица находится в состоянии 𝑔(𝑥), равна |∫𝑔*(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥|². Эта формулировка хороша, когда мы знаем, что имеем при этом в виду. На самом деле система находится в состоянии 𝑓(𝑥), а не в состоянии 𝑔(𝑥), но если при измерении мы хотим узнать, будет ли она также находиться в состоянии 𝑔(𝑥), то вероятность получить утвердительный ответ равна:

𝑃(𝑥)

=

⎪

⎪

⎪

_∞

∫

^-∞

𝑔*(𝑥)

𝑓(𝑥)

𝑑𝑥

⎪²

⎪

⎪

=

𝓟[𝑔(𝑥)]

.

(5.32)

Измерение, с помощью которого выясняется, находится ли система в состоянии 𝑔(𝑥) или нет, покажет, что система действительно находится в этом состоянии, если волновая функция системы равна 𝑔(𝑥). Для других волновых функций повторение эксперимента даст утвердительный ответ лишь в некоторой части случаев, составляющей от всех испытаний долю 𝑃. Это является центральным пунктом вероятностной интерпретации квантовой механики.

Из всего этого следует одно интересное соотношение между самой волновой функцией и функцией, комплексно ей сопряжённой. В соответствии с нашим пониманием соотношения (5.25) функция 𝑔*(𝑥) представляет собой амплитуду вероятности того, что если система занимает положение 𝑥, то она обладает свойством 𝐺 (это утверждение можно записать математически, если вместо функции 𝑓(𝑥) в формулу (5.31) подставить δ-функцию); с другой стороны, 𝑔(𝑥) — амплитуда вероятности того, что система, обладающая свойством 𝐺, находится в точке 𝑥. (Это как раз и является способом определения волновой функции.) Одна из этих функций даёт амплитуду вероятности в таком случае: если имеется 𝐴, то имеется и 𝐵; другая определяет её для обратного случая: если имеется 𝐵, то имеется 𝐴. Переход осуществляется здесь простым комплексным сопряжением.

Соотношение (5.31) может быть интерпретировано следующим образом: амплитуда вероятности того, что система обладает свойством 𝐺, представляет собой сумму по всем значениям 𝑥 произведений амплитуды 𝑔(𝑥), описывающей вероятность того, что система находится в положении 𝑥, и амплитуды 𝑓*(𝑥), определяющей вероятность того, что если система занимает положение 𝑥, то она обладает свойством 𝐺.

Задача 5.3. Пусть интеграл

_∞

∫

^-∞

𝑓*(𝑥)

𝑓(𝑥)

𝑑𝑥

,

который даёт полную вероятность найти в каком-либо месте частицу с волновой функцией 𝑓(𝑥), нормирован так, что его значение равно единице. Покажите, что при этом условии состояние 𝑓(𝑥), в котором частица с наибольшей вероятностью будет обладать свойством 𝐺, совпадает с 𝑔(𝑥).

Задача 5.4. Допустим, что ψ(𝑥₁) — волновая функция системы в момент времени 𝑡₁. Пусть при движении в интервале времени 𝑡₂≥𝑡≥𝑡₁ поведение системы описывается ядром 𝐾(𝑥₂,𝑡₂;𝑥₁,𝑡₁).

Покажите, что вероятность найти систему в состоянии χ(𝑥) в момент времени 𝑡₂ даётся квадратом интеграла

_∞

∫

^-∞

_∞

∫

^-∞

χ*(𝑥

₂

)

𝐾(𝑥

₂

,𝑡

₂

;𝑥

₁

,𝑡

₁

)

ψ(𝑥

₁

)

𝑑𝑥

₁

𝑑𝑥

₂

.

Мы будем называть этот интеграл амплитудой перехода из состояния ψ(𝑥) в состояние χ(𝑥).

Измерение нескольких величин. В наших рассуждениях в гл. 4 мы предполагали идеальный эксперимент, когда одновременно с величиной 𝐴 нельзя измерить никакую другую величину. Иначе говоря, мы допускали, что существует не более одной функции 𝑔(𝑥), приводящей к данному результату, и утверждали тем самым, что при измерении величины 𝐴 мы получаем максимум информации о нашей системе.

Однако в действительности состояние системы в общем случае определяется несколькими переменными. Так, например, если в трёхмерном пространстве измеряется только 𝑥-компонента импульса, то мы не сможем однозначно определить функцию 𝑔(𝑥): волновые функции exp(𝑖𝑝_𝑥𝑥/ℏ) и exp[(𝑖𝑝_𝑥𝑥/ℏ) - (𝑖𝑝_𝑦𝑦/ℏ)] — дадут одинаковое значение 𝑥-компоненты импульса 𝑝_𝑥. Таким образом, если в трёхмерной системе координат измерять лишь значение компоненты 𝑝_𝑥, то частицы в направлении оси 𝑦 могут двигаться с любым импульсом и это не скажется на результатах измерений. Не требуется даже, чтобы частица попадала в одну и ту же точку измерительного устройства. Все частицы, которые попадают на некоторую линию или совокупность точек, могут иметь одно и то же значение 𝑝_𝑥.

Так что в общем случае волновая функция 𝑔(𝑥) определит свойство 𝐺 следующим образом: состояние, которое описывается волновой функцией 𝑔(𝑥), безусловно, обладает свойством 𝐺. Однако обратное утверждение не всегда верно. Поэтому совсем не обязательно, чтобы все состояния, обладающие свойством 𝐺, описывались одной и той же волновой функцией 𝑔(𝑥). Лишь в том случае, когда 𝐺 включает перечень всех величин, которые могут быть одновременно измерены, волновая функция полностью определяется самим свойством 𝐺. Но даже и тогда остаётся неопределённым постоянный фазовый множитель 𝑒^𝑖δ (который не имеет, однако, существенного значения).