Квантовая механика и интегралы по траекториям

Легко получить необходимое обобщение характеристической функции 𝑔*(𝑥) для случая, когда наш мысленный эксперимент предполагает измерение более чем одной переменной. Пусть мы имеем некий набор величин (назовём их 𝐴, 𝐵, 𝐶, …), которые могут быть одновременно измерены в предполагаемом эксперименте; например, это будут 𝑥-компонента импульса, 𝑦-компонента и т.д. Предположим, что мы можем полностью описать состояние системы, определяя некоторые числа 𝑎, 𝑏, 𝑐, …, соответствующие этим величинам. Таким образом, мы полностью описываем систему, утверждая, что она обладает или не обладает определённым свойством. В данном случае утверждение, что система имеет определённое свойство, означает, что величина 𝐴 равна 𝑎, величина 𝐵 равна 𝑏 и т.д. Кроме того, предположим, что одновременно с этим мы не можем получить никакой другой информации, которую нельзя было бы вывести, зная численные значения величин 𝐴, 𝐵, 𝐶… .

Пусть наша экспериментальная установка способна измерять все эти величины, т.е. позволяет нам выяснить, обладает ли данное состояние таким свойством, при котором значение величины 𝐴 равно 𝑎, и т.д. Мы назовём характеристической функцией такого свойства функцию

𝑔*(𝑥)

=

χ

_*

^{𝑎,𝑏,𝑐,…}

(𝑥)

.

(5.33)

Эта функция зависит, конечно, от чисел 𝑎,𝑏,𝑐,…, для измерения которых ставится эксперимент, а также от координаты 𝑥.

Предположим, что система находится в состоянии 𝑓(𝑥). Тогда вероятность того, что эксперимент даёт для 𝐴 значение, равное 𝑎, для 𝐵 — значение, равное 𝑏, и т.д. (другими словами, вероятность того, что состояние обладает интересующим нас свойством), есть

𝑃(𝑎,𝑏,𝑐,…)

=

⎪

⎪

⎪

∫

χ

_*

^{𝑎,𝑏,𝑐,…}

(𝑥)

𝑓(𝑥)

𝑑𝑥

⎪²

⎪

⎪

.

(5.34)

Преобразующие функции. Пусть система заведомо находится в состоянии χ_{𝑎',𝑏',𝑐',…}, т.е. значение переменной 𝐴 равно 𝑎' и т.д. Тогда вероятность того, что в нашем эксперименте система будет обнаружена в состоянии, описываемом величинами 𝑎,𝑏,𝑐,…, равна нулю, если не выполнены равенства 𝑎'=𝑎, 𝑏'=𝑏, 𝑐'=𝑐, …. Это значит, что с учётом соответствующих нормирующих множителей

_∞

∫

^-∞

χ

_*

^{𝑎,𝑏,𝑐,…}

(𝑥)

χ

_{𝑎',𝑏',𝑐',…}

(𝑥)

𝑑𝑥

=

δ(𝑎-𝑎')

δ(𝑏-𝑏')

δ(𝑐-𝑐')

.

(5.35)

Функция χ_{𝑎,𝑏,𝑐,…}(𝑥) представляет собой амплитуду вероятности обнаружения системы в положении 𝑥, если она находится в состоянии, описываемом величинами 𝑎,𝑏,𝑐,…. Функция χ^*_{𝑎,𝑏,𝑐,…}(𝑥), которую мы назвали характеристической функцией, является амплитудой вероятности обнаружить систему в состоянии, определяемом величинами 𝑎,𝑏,𝑐,…, если известно, что она находится в положении 𝑥.

Пусть мы знаем, что состояние системы описывается функцией 𝑓(𝑥); тогда выражение

𝐹

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

=

_∞

∫

^-∞

χ

_*

^{𝑎,𝑏,𝑐,…}

𝑓(𝑥)

𝑑𝑥

(5.36)

есть не что иное, как амплитуда вероятности найти систему в состоянии, при котором величина 𝐴 имеет значение 𝑎, величина 𝐵 — значение 𝑏 и т.д.

Величины 𝐸_{𝑎,𝑏,𝑐,…} могут применяться для описания состояний системы с тем же успехом, что и функция 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧,…) Действительно, если мы знаем 𝐹_{𝑎,𝑏,𝑐,…}, то с помощью обратного преобразования можем восстановить и функцию 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧,…).

Функция 𝐹_{𝑎,𝑏,𝑐,…} называется 𝐴𝐵𝐶…- представлением данного состояния. Примером такого рода может служить импульсное представление, которое мы рассматривали в предыдущем параграфе. Функция 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧,…) является обычным координатным или 𝑥𝑦𝑧…- представлением состояния. Переход от одного представления к другому осуществляется с помощью функций χ и χ*. В частности, χ^*_{𝑎,𝑏,𝑐,…}(𝑥,𝑦,𝑧,…)— преобразующая функция перехода от координатного представления к 𝐴𝐵𝐶…-представлению, тогда как χ_{𝑎,𝑏,𝑐,…}(𝑥,𝑦,𝑧,…)— преобразующая функция обратного перехода. Таким образом, преобразование, обратное преобразованию (5.36), имеет вид

𝑓(𝑥,𝑦,𝑧,…)

=

 

∑

^𝑎

 

∑

^𝑏

 

∑

^𝑐

…

𝐹

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

χ

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

(𝑥,𝑦,𝑧,…)

.

(5.37)

Это говорит о том, что амплитуда вероятности обнаружить систему в положении 𝑥 равна сумме по всем возможным значениям величин 𝑎,𝑏,𝑐,… произведений двух функций: 𝐸_{𝑎,𝑏,𝑐,…}— амплитуды вероятности обнаружить систему с 𝐴=𝑎, 𝐵=𝑏, … и χ_{𝑎,𝑏,𝑐,…}(𝑥)— амплитуды вероятности обнаружения системы в положении 𝑥 при условии, что 𝐴=𝑎, 𝐵=𝑏, ….

Задача 5.5. Предположим, что функцию 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧,…) можно записать в виде

𝑓(𝑥,𝑦,𝑧,…)

=

 

∑

^𝑎

 

∑

^𝑏

 

∑

^𝑐

…

𝐹'

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

χ

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

(𝑥,𝑦,𝑧,…)

.

(5.38)

Подставляя это соотношение в формулу (5.36) и используя свойство ортогональности функций χ (5.35), покажите, что

𝐹'

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

=

𝐹

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

Задача 5.6. Пусть 𝐴, 𝐵, 𝐶 — три декартовы компоненты импульса 𝑝_𝑥, 𝑝_𝑦, 𝑝_𝑧. Каков вид функции χ_{𝑎,𝑏,𝑐}(𝑥,𝑦,𝑧)? Используя результаты § 2 гл. 5, проверьте соотношения, полученные в § 1 гл. 5.