Квантовая механика и интегралы по траекториям

Задача 5.13. Обсудите возможность интерпретации функции φ_𝑛(𝑥) как функции χ_{𝑎,𝑏,𝑐,…}(𝑥), рассмотренной в §2, т.е. покажите, что функция φ_𝑛(𝑥) является преобразующей функцией для перехода от 𝑥-представления к представлению, определяемому числом 𝑛 (так называемому энергетическому представлению).

Глава 6

МЕТОД ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

В гл. 3 мы видели, как можно описать поведение квантовомеханической системы с помощью метода интегралов по траекториям, если в выражение функции действия 𝑆 входит потенциал, имеющий только квадратичные члены. Однако потенциалы, с которыми мы встречаемся при решении ряда важных задач квантовой механики, не имеют такого частного вида и не могут быть рассмотрены столь просто. В данной главе развивается приближённый метод, который позволит рассматривать такие более сложные потенциалы. Этот метод называется теорией возмущений и оказывается особенно полезным, когда потенциал относительно невелик (по сравнению, например, с кинетической энергией системы).

Хотя разложение в ряд теории возмущений может быть получено и строго математически, ему тем не менее интересно дать физическое истолкование, которое позволяет глубже понять поведение квантовомеханических систем.

В § 4 мы займёмся некоторыми приложениями теории возмущений. Например, рассмотрим движение электрона, рассеивающегося на атоме. Оказывается, что для описания взаимодействия, сопровождающего рассеяние, полезно использовать классическое понятие поперечного сечения рассеяния, т.е. понятие эффективной площади атома-мишени по отношению к рассеивающемуся электрону. Хотя это сечение связано с реальными размерами атома, мы покажем, что оно определяется также и квантовомеханическими свойствами взаимодействующих систем.

§ 1. Ряд теории возмущений

Члены ряда. Предположим, что частица движется под действием потенциала 𝑉(𝑥,𝑡). Ограничимся пока одномерным движением. Тогда ядро, соответствующее переходу между точками 𝑎 и 𝑏, будет иметь вид

𝐾

_𝑉

(𝑏,𝑎)

=

_𝑏

∫

^𝑎

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖

ℏ

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

⎡

⎢

⎣

𝑚

2

𝑥̇²

-

𝑉(𝑥𝑡)

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝒟𝑥(𝑡)

.

(6.1)

Индекс 𝑉 в обозначении 𝐾_𝑉 отражает тот факт, что на частицу действует потенциал 𝑉. Отсюда обозначение 𝐾₀ будет относиться к ядру, описывающему движение свободной частицы.

В некоторых случаях ядро 𝐾_𝑉 может быть определено с помощью уже изученных методов. Например, в гл. 3 мы вычислили ядро для гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила 𝑓(𝑡). Потенциал в этом случае имеет вид

𝑉(𝑥,𝑡)

=

𝑚

2

ω²𝑥²-𝑥𝑓(𝑡)

(6.2)

[см. лагранжиан (3.65)]. В общем случае, когда потенциал квадратичен по переменной 𝑥, ядро может быть вычислено точно; наряду с этим при достаточно медленном изменении потенциала оказывается хорошо применимым квазиклассическоеприближение. Известны также некоторые другие типы потенциалов, которые удобно рассматривать с помощью уравнения Шрёдингера. Теперь обратимся к изучению самих разложений, которые часто оказываются полезными при малых возмущающих потенциалах.

Пусть потенциал действительно мал; более точно предположим, что мал по сравнению с величиной ℏ интеграл по времени от потенциала вдоль траектории. Тогда та часть экспоненциального члена в подынтегральном выражении (6.1), которая зависит от 𝑉(𝑥,𝑡), может быть разложена в ряд

exp

⎡

⎢

⎣

-

𝑖

ℏ

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

𝑉(𝑥,𝑡)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

=

1-

𝑖

ℏ

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

𝑉(𝑥,𝑡)

𝑑𝑡

+

+

1

2!

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

⎫²

⎪

⎭

⎡

⎢

⎣

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

𝑉(𝑥,𝑡)

𝑑𝑡

⎤²

⎥

⎦

+…,

(6.3)

который определён для некоторой частной траектории 𝑥(𝑡). Подставляя это разложение в (6.1), получаем

𝐾

_𝑉

(𝑏,𝑎)

=

𝐾

₀

(𝑏,𝑎)

+

𝐾

⁽¹⁾

(𝑏,𝑎)

+

𝐾

⁽²⁾

(𝑏,𝑎)

+…,

(6.4)

где

𝐾

₀

(𝑏,𝑎)

=

_𝑏

∫

^𝑎

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

𝑚𝑥̇²

2

𝑑𝑡

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

𝒟𝑥(𝑡)

,

(6.5)

𝐾

⁽¹⁾

(𝑏,𝑎)

=-

𝑖

ℏ

_𝑏

∫

^𝑎

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

𝑚𝑥̇²

2

𝑑𝑡

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]

𝑑𝑆

𝒟𝑥(𝑡)

,

(6.6)

𝐾

⁽²⁾

(𝑏,𝑎)

=-

1

2ℏ²

_𝑏

∫

^𝑎

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

𝑚𝑥̇²

2

𝑑𝑡

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

𝑉[𝑥(𝑠)]

𝑑𝑠

×

×

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

𝑉[𝑥(𝑠'),𝑠']

𝑑𝑠'

𝒟𝑥(𝑡)

(6.7)

и т.д.

Чтобы не перепутать временны'е переменные, по которым проводится интегрирование, мы обозначили их здесь через 𝑠, 𝑠' и т.п.

Вычисление членов ряда. Рассмотрим сначала ядро 𝐾⁽¹⁾. Для нас удобнее изменить порядок интегрирования по переменной 𝑥 и по траектории 𝑥(𝑡). Запишем

𝐾

⁽¹⁾

(𝑏,𝑎)

=-

𝑖

ℏ

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

𝐹(𝑠)

𝑑𝑠

,

(6.8)

где

𝐹(𝑠)

=

_𝑏

∫

^𝑎

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

𝑚𝑥̇²

2

𝑑𝑡

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]

𝒟𝑥(𝑡)

.

(6.9)

Интеграл по траектории 𝐹(𝑠) имеет следующий смысл: это амплитуда вероятности свободной частицы, просуммированная по всем траекториям. При этом каждая траектория входит сюда с весом, равным значению потенциала 𝑉[𝑥(𝑠),𝑠], вычисленного в момент времени 𝑠. Единственная характеристика траектории 𝑥(𝑡), от которой зависит потенциал 𝑉, — это положение траектории в некоторый момент времени 𝑡=𝑠. Другими словами, до и после этого момента 𝑠 содержащаяся в функционале 𝐹(𝑠) траектория совпадает с траекторией обычной свободной частицы. Все вышесказанное поясняет фиг. 6.1.

Фиг. 6.1. Движение с одним рассеянием.