Квантовая механика и интегралы по траекториям

Частица выходит из точки 𝑎 и двигается как свободная до точки 𝑐. Здесь на неё действует потенциал 𝑉_𝑐=𝑉[𝑥(𝑠),𝑠], происходит рассеяние. После этого частица движется как свободная до точки 𝑏. Амплитуда, описывающая такое движение, даётся выражением (6.10). Если эту амплитуду проинтегрировать по всем возможным положениям точки 𝑐, то получим член первого порядка теории возмущений.

Основываясь на соображениях, аналогичных тем, которые мы использовали при выводе соотношения (2.31), разделим каждую траекторию на две части: часть, которая относится к моментам времени, предшествовавшим моменту 𝑡=𝑠, и часть, которая соответствует более позднему времени.

Для конкретности предположим, что каждая траектория проходит через точку 𝑥_𝑐 именно в этот момент времени 𝑡=𝑠. Далее мы проинтегрируем по всем значениям 𝑥_𝑐. Если точку 𝑥_𝑐(𝑠) обозначить через 𝑐 (т.е. положить 𝑠=𝑡_𝑐), то сумму по всем таким траекториям можно записать как 𝐾₀(𝑏,𝑐)𝐾₀(𝑐,𝑎). Это означает, что функционал 𝐹(𝑠)=𝐹(𝑡_𝑐) можно представить в виде

𝐹(𝑡

_𝑐

)

=

_∞

∫

^-∞

𝐾

₀

(𝑏,𝑐)

𝑉(𝑥

_𝑐

,𝑡

_𝑐

)

𝐾

₀

(𝑐,𝑎)

𝑑𝑥

_𝑐

.

(6.10)

Подстановка этого выражения в соотношение (6.8) даёт

𝐾

⁽¹⁾

(𝑏,𝑎)

=-

𝑖

ℏ

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

_∞

∫

^-∞

𝐾

₀

(𝑏,𝑐)

𝑉(𝑐)

𝐾

₀

(𝑐,𝑎)

𝑑𝑥

_𝑐

𝑑𝑡

_𝑐

,

(6.11)

где 𝑉(𝑐)=𝑉(𝑥_𝑐,𝑡_𝑐).

Пределы интегрирования по 𝑥 здесь положены равными +∞. В практических задачах эти пределы обычно определяются видом потенциала, который в большинстве случаев спадает до нуля при очень больших значениях 𝑥, или свойствами применённых установок, которые ограничивают область изменения 𝑥.

Интерпретация членов ряда. Чтобы лучше понять физический смысл очень важного и полезного соотношения (6.11), мы специально остановимся на его интерпретации. Назовём процесс взаимодействия между потенциальным полем и частицей рассеянием; так, мы будем говорить, что частица рассеивается на потенциале и что амплитуда такого рассеяния на единицу объёма и единицу времени равна -(𝑖/ℏ)𝑉.

Учитывая это определение, мы можем интерпретировать ядро 𝐾_𝑉 следующим образом. Это ядро представляет собой, очевидно, сумму, взятую по всем альтернативным путям, по которым частица может попасть из точки 𝑎 в точку 𝑏. Эти возможности следующие:

1) частица может вообще не рассеяться

𝐾

₍₀₎

(𝑏,𝑎)

,

2) частица может рассеяться один раз

𝐾

₍₁₎

(𝑏,𝑎)

,

3) частица может рассеяться дважды

𝐾

₍₂₎

(𝑏,𝑎)

и т. д.

В соответствии с такой интерпретацией на фиг. 6.2 изображены различные траектории частицы.

Фиг. 6.2. Различные случаи рассеяния.

В случае 1 частица под действием потенциала 𝑉 движется от точки 𝑎 до точки 𝑏, не рассеиваясь. Такое движение описывается амплитудой 𝐾₍₀₎(𝑏,𝑎). В случае 2 частица в своём движении под действием потенциала 𝑉 испытывает один акт рассеяния в точке 𝑐. Этому соответствует амплитуда 𝐾⁽¹⁾(𝑏,𝑎). В случае 3 частица рассеивается дважды [амплитуда 𝐾₍₂₎(𝑏,𝑎)], а в случае 4 — 𝑛 раз, причём последнее рассеяние происходит в точке 𝑐. Полная амплитуда, описывающая движение частицы из точки 𝑎 в точку 𝑏 при любом числе рассеяний, является суммой 𝐾₀+𝐾⁽¹⁾+𝐾⁽²⁾+…+𝐾^(𝑛)+….

Заметим, что каждая из перечисленных выше альтернатив в свою очередь является суммой альтернатив ¹). Рассмотрим, например, ядро 𝐾⁽¹⁾(𝑏,𝑎), описывающее однократное рассеяние. Этому ядру соответствует, в частности, следующая альтернативная траектория: частица начинает двигаться из точки 𝑎, движется свободно до точки 𝑥_𝑐(𝑡_𝑐=𝑐), где она рассеивается на потенциале 𝑉(𝑐), после чего снова движется как свободная частица из точки 𝑐 до конечной точки 𝑏. Амплитуда, соответствующая такой траетории, равна

𝐾

₍₀₎

(𝑏,𝑐)

⎡

⎢

⎣

-

𝑖

ℏ

𝑉(𝑐)

𝑑𝑥

_𝑐

𝑑𝑡

_𝑐

⎤

⎥

⎦

𝐾

₍₀₎

(𝑐,𝑎)

.

(6.12)

¹) Поскольку даже однократное рассеяние может происходить в различных точках 𝐶, суммирование по всем альтернативам является совершенно необходимым.— Прим. перев.

(Следует напомнить, что, согласно используемой нами договорённости, можно проследить за движением частицы, читая эту формулу в обратном порядке, т.е. справа налево.)

Структура амплитуды (6.12) согласуется с правилом, сформулированным в § 5 гл. 2, а именно амплитуды вероятности последовательных во времени событий перемножаются. В соответствии с равенством (6.11) полное выражение для ядра 𝐾⁽¹⁾ получается сложением всех таких альтернатив, т.е. интегрированием по переменным 𝑥_𝑐 и 𝑡_𝑐.

С помощью этих рассуждений мы можем сразу написать ядро 𝐾⁽²⁾ для двухкратного рассеяния в виде

𝐾

⁽²⁾

(𝑏,𝑎)

=

⎧

⎪

⎩

-

𝑖

ℏ

⎫²

⎪

⎭

∫∫

𝐾

₍₀₎

(𝑏,𝑐)

𝑉(𝑐)

𝐾

₍₀₎

(𝑐,𝑑)

×

×

𝑉(𝑑)

𝐾

₍₀₎

(𝑑,𝑎)

𝑑τ

_𝑐

𝑑τ

_𝑑

,

(6.13)