Квантовая механика и интегралы по траекториям

Задача 5.7. Предположим, что 𝐴𝐵𝐶…-представление не является ни координатным, ни импульсным, а есть некое третье представление состояния системы. Допустим, что нам известна функция χ_{𝑎,𝑏,𝑐,…}(𝑥,𝑦,𝑧,…), которая позволяет выполнить прямой и обратный переходы от координатного представления к 𝐴𝐵𝐶…-представлению. Пусть нам известна также преобразующая функция, необходимая для перехода от координатного представления к импульсному. Какой вид имеет тогда функция, позволяющая определить переходы между импульсным представлением и 𝐴𝐵𝐶…-представлением?

§ 3. Операторы

Ожидаемые значения. Мы можем рассмотреть теперь некоторые другие свойства преобразующих функций. Попытаемся ответить на такой вопрос: система находится в состоянии, которое определяется волновой функцией 𝑓(𝑥), и мы измеряем величину 𝐴; какое среднее значение получится для величины 𝐴 при многократном повторении эксперимента? Мы будем обозначать это среднее значение, называемое иногда ожидаемым значением, символом ⟨𝐴⟩.

Предположим, что в принципе возможно одновременное измерение нескольких физических величин 𝐴, 𝐵, 𝐶, …, причём измерение величины 𝐴 даёт какое-то одно значение из непрерывного или дискретного ряда чисел 𝑎, измерение величины 𝐴 — некоторое значение 𝑎, …. Вероятность получить определённый набор 𝑎, 𝑏, 𝑐, … равна |𝐹_{𝑎,𝑏,𝑐,…}|², а вероятность получить для величины 𝐴 некоторое значение 𝑎 при любых 𝐵, 𝐶, … (например, вообще не измеряя последние) равна

𝑃(𝑎)

=

 

∑

^𝑎

 

∑

^𝑏

…

|𝐹

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

|²

.

(5.39)

Суммирование в этом равенстве производится по всем возможным значениям непрерывного или дискретного ряда величин 𝑏, 𝑐, … .

Среднее, или ожидаемое, значение результата измерения величины 𝐴 получается умножением вероятности (5.39) на величину 𝑎 и последующим суммированием произведений по всем возможным значениям этого 𝑎. Таким образом,

⟨𝐴⟩

=

 

∑

^𝑎

 

∑

^𝑏

 

∑

^𝑐

…𝑎

|𝐹

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

|²

.

(5.40)

Необходимость вычисления подобных средних значений часто возникает при решении квантовомеханических задач. Поэтому полезно иметь формулы, упрощающие такие вычисления. Этот вопрос, связанный с операторами, уже обсуждался вкратце в § 1 гл. 4. Здесь мы получим несколько дополнительных результатов. Однако нигде в данной книге мы не будем обстоятельно излагать операторное исчисление, поскольку имеется целый ряд блестящих работ, посвящённых этому вопросу (см., например, [24]).

Операторы. Попытаемся выразить ожидаемое значение величины 𝐴 непосредственно с помощью исходной волновой функции 𝑓(𝑥). Для этого прежде всего заметим, что квадрат абсолютного значения функции 𝐹_{𝑎,𝑏,𝑐,…} можно записать как

|𝐹

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

|²

=

𝐹

_*

^{𝑎,𝑏,𝑐,…}

𝐹

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

.

(5.41)

Используя формулу (5.36), получаем

⟨𝐴⟩

=

 

∑

^𝑎

 

∑

^𝑏

 

∑

^𝑐

…𝑎

_∞

∫

^-∞

χ

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

(𝑥)

𝑓*(𝑥)

𝑑𝑥

×

×

_∞

∫

^-∞

χ

_*

^{𝑎,𝑏,𝑐,…}

(𝑥')

𝑓(𝑥')

𝑑𝑥'

=

_∞

∫

^-∞

𝑓*(𝑥)

𝑅(𝑥)

𝑑𝑥

.

(5.42)

Во второй строке этого равенства мы обозначили

𝑅(𝑥)

=

_∞

∫

^-∞

𝐺

_𝐴

(𝑥,𝑥')

𝑓(𝑥')

𝑑𝑥'

,

(5.43)

где

𝐺

_𝐴

(𝑥,𝑥')

=

 

∑

^𝑎

 

∑

^𝑏

 

∑

^𝑐

…𝑎

χ

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

(𝑥)

χ

_*

^{𝑎,𝑏,𝑐,…}

(𝑥')

.

(5.44)

Соотношение (5.43) говорит о том, что функция 𝑅(𝑥) получается из функции 𝑓(𝑥) в результате интегрирования, выполненного с помощью соответствующего величине 𝐴 линейного интегрального оператора 𝐺_𝐴(𝑥,𝑥'). Соотношения, подобные (5.43), часто символически записываются в виде

𝑅

=

𝒜𝑓

,

(5.45)

где символом 𝒜 обозначен линейный оператор, действующий на функцию 𝑓. В данном случае 𝒜 означает операцию, которую следует выполнить в правой части соотношения (5. 43), т.е. умножение на функцию 𝐺_𝐴 и интегрирование. Оператор 𝒜 сопоставлен физической величине 𝐴. Используя эти обозначения, можно написать

⟨𝐴⟩

=

_∞

∫

^-∞

𝑓*(𝑥)

𝒜𝑓(𝑥)

𝑑𝑥

=

=

_∞

∫

^-∞

_∞

∫

^-∞

𝑓*(𝑥)

𝐺

_𝐴

(𝑥,𝑥')

𝑓(𝑥')

𝑑𝑥

𝑑𝑥'

.

(5.46)

Задача 5.8. Отметим, что из формулы (5.44) следует равенство 𝐺*_𝐴(𝑥,𝑥') = 𝐺_𝐴(𝑥',𝑥). Принимая во внимание этот факт, покажите, что для любых двух волновых функций 𝑔(𝑥) и 𝑓(𝑥), каждая из которых стремится к нулю, когда 𝑥→±∞,

_∞

∫

^-∞

𝑔*(𝑥)

𝒜𝑓(𝑥)

𝑑𝑥

=

_∞

∫

^-∞

[𝒜𝑔(𝑥)]*

𝑓(𝑥)

𝑑𝑥

.

(5.47)

Всякий оператор, подобный 𝒜, для которого имеет место равенство (5.47), называется эрмитовым [ср. равенство (4.30)].

Задача 5.9. Преобразующая функция перехода от пространственного к импульсному представлению имеет вид

χ

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

(𝐫)

=

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐩⋅𝐫}

(5.48)

(см. задачу 5.6). В качестве физической величины 𝐴 выберем 𝑥- компоненту импульса 𝑝_𝑥. Покажите, что функция 𝐺_𝐴 имеет вид

𝐺

_𝑝𝑥

(𝑥,𝑥')

=

ℏ

𝑖

δ'(𝑥-𝑥')

δ(𝑦-𝑦')

δ(𝑧-𝑧')

,

(5.49)

где δ'(𝑥)=(𝑑/𝑑𝑥)δ(𝑥). Используя этот результат, определите оператор, соответствующий 𝑥-компонете импульса, и покажите, что ожидаемое значение этой компоненты можно записать как

⟨𝑝

_𝑥

⟩

=

_∞

∫

^-∞

𝑓*(𝑥)

ℏ

𝑖

∂𝑓

∂𝑥

𝑑𝑥

.

(5.50)

Задача 5.10. Предположим, что величина 𝐴 является пространственной координатой 𝑥. Покажите, что правильная формула для среднего значения 𝑥 получается в том случае, если функция 𝐺_𝑥(𝑥,𝑥') выбрана в виде

𝐺

_𝑥

(𝑥,𝑥')

=

𝑥

δ(𝑥-𝑥')

δ(𝑦-𝑦')

δ(𝑧-𝑧')

,

(5.51)

а оператор, соответствующий координате 𝑥, представляет собой просто умножение на 𝑥, т.е.

𝓧

𝑓(𝑥)

=

𝑥

𝑓(𝑥)

.

(5.52)