Квантовая механика и интегралы по траекториям

Было бы неправильным брать в этом случае просто главную часть интеграла в точке такого полюса. Это дало бы нам неверный результат. В частности, обратное преобразование полученного ядра не привело бы снова к тому первоначальному координатному представлению ядра, из которого мы исходили. Результат преобразования отличался бы от исходного выражения тем, что не обращался бы в нуль при отрицательных значениях времени. Правильный результат для таких интегралов можно получить, если сдвинуть полюс на бесконечно малое расстояние выше действительной оси. Это и достигается введением в наше выражение величины ε.

Преобразовав выражение 𝑖/(ω+𝑖ε) к виду

𝑖(ω-𝑖ε)

ω²+ε²

=

𝑖ω

ω²+ε²

+

ε

ω²+ε²

,

(5.16)

можно первый член в правой части представить как 𝑖/ω и в дальнейшем интеграл от него вычислять в смысле главного значения. Второй член при ε, стремящемся к нулю, становится равным πδ(ω), так что в дальнейшем при интегрировании его следует учитывать именно в таком виде. Это означает, что если мы хотим более точно математически определить значение указанного интеграла, то выражение 𝑖/(ω+𝑖ε) должно быть заменено на 𝙿𝙿[(𝑖/ω)+πδ(ω)]. Другими словами,

_∞

∫

⁰

𝑒

^𝑖ωτ

𝑑𝑡

=

 

lim

^ε→0

𝑖

ω+𝑖ε

=

𝙿𝙿

⎡

⎢

⎣

⎧

⎪

⎩

𝑖

ω

⎫

⎪

⎭

+πδ(ω)

⎤

⎥

⎦

.

(5.17)

В последующем во всех выражениях, содержащих ε, будет подразумеваться предельный переход при ε→0.

Возвращаясь к вычислению ядра, заменим ω на 𝐸₂-(𝑝²/2𝑚), после чего получим

𝐸

₀

(𝐩

₂

,𝐸

₂

;𝐩

₁

,𝐸

₁

)

=

(2πℏ)

⁴

δ³

(𝐩

₂

-𝐩

₁

)

δ(𝐸

₂

-𝐸

₁

)

×

×

⎧

⎪

⎩

𝐸

₁

-

𝑝²₁

2𝑚

+𝑖ε

⎫-1

⎪

⎭

.

(5.18)

Наличие δ-функций в этом выражении означает, что ни энергия, ни импульс 𝑝 не изменяются во время движения свободной частицы. Эти две величины, как это видно из последнего множителя, и определяют движение частицы.

Таким образом, амплитуда движения свободной частицы с энергией 𝐸 и импульсом 𝑝 из одной точки в другую пропорциональна 𝑖[𝐸-(𝑝²/2𝑚)+𝑖ε]^-1.

В этой главе мы уже отмечали, что энергия 𝐸 здесь, вообще говоря, не равна 𝑝²/2𝑚, а является независимой переменной.

Чтобы понять, чем это обусловлено, рассмотрим ядро для свободной частицы, которое можно представить некоторой осциллирующей функцией в пространстве и времени, где величина 𝐸 является коэффициентом при переменной времени и, следовательно, обладает свойствами частоты. Ядро, заданное равенством (5.12), представлено на фиг. 5.4 как функция разности времён 𝑇=𝑡₂-𝑡₁. Оно обращается в нуль при отрицательном 𝑇 и начинает осциллировать при значении 𝑇=0. Преобразование от временного к энергетическому представлению эквивалентно преобразованию Фурье. Так как волна образуется сразу при 𝑇=0, то фурье-компонента определена при всех значениях частот и, следовательно, для всех энергий. Однако если функция рассматривается на большом временном интервале (много периодов), то в фурье-компоненте начинает преобладать лишь одна из частот. Для свободной частицы такая доминирующая частота соответствует энергии 𝐸₀=𝑝²/2𝑚.

Фиг. 5.4. Действительная часть ядра 𝐾₀ (описывающего движение свободной частицы) как функция времени.

Для отрицательных моментов времени эта функция обращается в нуль, в точке 𝑡=0 она скачкообразно возрастает, а далее имеет вид косинусоидальной волны с постоянной амплитудой и частотой.

Именно поэтому ядро в случае свободной частицы содержит множитель

𝑖

=𝙿𝙿

⎧

⎪

⎩

𝑖

⎫

⎪

⎭

+πδ

⎧

⎪

⎩

𝐸

₂

¹

-

𝑝²

2𝑚

⎫

⎪

⎭

.

𝐸

₀

-𝑝

₂

2𝑚+𝑖ε

𝐸

₂

-𝑝²/2𝑚

¹

¹

(5.19)

Здесь первый член справа учитывает переходные процессы, обусловленные мгновенным возникновением колебаний при 𝑡=0. Второй член описывает стационарное поведение и показывает, что по прошествии достаточного времени мы обнаружим, как обычно, значение энергии, равное 𝑝²/2𝑚 однако вблизи точки 𝑡=0 энергия не определяется этой классической формулой.

Задача 5.2. Пусть мы проделаем преобразование Фурье только для времени и не затронем пространственных переменных. В этом случае

𝑘(𝑥

₂

,𝐸

₂

;𝑥

₁

,𝐸

₁

)

=

∫∫

𝑒

^{(𝑖ℏ)𝐸₂𝑡₂}

𝐾(𝑥

₂

,𝑡

₂

;𝑥

₁

,𝑡

₁

)

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐸₁𝑡₁}

𝑑𝑡

₂

𝑑𝑡

₁

.

(5.20)

Покажите, что для системы с не зависящим от времени гамильтонианом 𝐻

𝑘(𝑥

₂

,𝐸

₂

;𝑥

₁

,𝐸

₁

)

=

2πℏ𝑖δ

(𝐸

₂

-𝐸

₁

)

 

∑

^𝑚

φ_𝑚(𝑥₂)φ^*_𝑚(𝑥₁)

𝐸₁-𝐸_𝑚+𝑖ε

,

(5.21)

где φ_𝑚 — собственные функции, а 𝐸_𝑚 — собственные значения оператора 𝐻.

§ 2. Измерение квантовомеханических величин

Характеристическая функция. В предыдущем параграфе мы показали, каким образом эксперимент, предназначенный для измерения импульса, приводит к определению распределения вероятности импульсов. По результатам правильно поставленного эксперимента можно ответить на вопрос: какова вероятность того, что импульс частицы равен 𝐩. Используя тот факт, что существует распределение вероятности различных значений импульса, мы нашли, каким образом волновая функция (или амплитуда вероятности) выражается в зависимости от импульсных переменных. Мы установили, что действительно можем и полностью описать систему и рассматривать задачи в импульсно-энергетическом представлении так же хорошо, как и в пространственно-временном представлении, которым до сих пор пользовались.