Квантовая механика и интегралы по траекториям

Такая амплитуда действительно есть, и мы легко можем её найти. Некоторые способы измерения импульса (или других физических величин) соответствуют измерениям пространственных координат, и, следовательно, они могут быть изучены, если мы знаем, как анализировать измерения координат. Так, например, ограничиваясь одномерным случаем, предположим, что частица при 𝑡=0 находится в области ±𝑏 около начала координат оси 𝑥. Неопределённость 𝑏 может быть сколь угодно большой, оставаясь, однако, конечной. Мы можем измерить импульс такой частицы, пользуясь измерением времени её пролёта, т.е. мы можем пронаблюдать, насколько переместилась частица за время 𝑡=𝑇 (предполагая отсутствие сил). Если новое положение частицы есть 𝑥, то её скорость равна 𝑥/𝑇, а импульс 𝑝=𝑚𝑥/𝑇. Ошибку такого измерения импульса ±𝑚𝑏/𝑇 можно сделать сколь угодно малой, если время 𝑇 выбрать соответственно достаточно большим.

Предположим, что мы рассматриваем в импульсном пространстве вероятность 𝑃(𝑝), определяемую в таком эксперименте. 𝑃(𝑝)𝑑𝑝 — вероятность того, что значение импульса находится между 𝑝 и 𝑝+𝑑𝑝, равна вероятности 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 того, что при внезапном исчезновении всех воздействий на частицу она через промежуток времени 𝑇 будет находиться между точками 𝑥+𝑑𝑥. Конечно, это обусловлено тем, что импульс 𝑝 связан с координатой 𝑥 равенством 𝑝=𝑚𝑥/𝑇. Допустим, что волновая функция частицы в момент времени 𝑡=0 имеет вид 𝑓(𝑦), и наша задача заключается в том, чтобы выразить вероятность 𝑃(𝑝) непосредственно через волновую функцию 𝑓(𝑦).

Амплитуда вероятности того, что частица придёт в точку 𝑥 в момент времени 𝑡=𝑇, равна

ψ(𝑥,𝑡)

=

_∞

∫

^-∞

𝐾

₀

(𝑥,𝑇;𝑦,0)

𝑓(𝑦)𝑑𝑦

.

(5.1)

После подстановки ядра 𝐾₀, описывающего движение свободной частицы, это выражение примет вид

ψ(𝑥,𝑡)

=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2_π𝑖ℏ𝑇

⎫½

⎪

⎭

exp

𝑖𝑚𝑥²

2ℏ𝑇

_∞

∫

^-∞

⎧

⎪

⎩

exp

-𝑖𝑚𝑥𝑦

ℏ𝑇

⎫

⎪

⎭

⎧

⎪

⎩

exp

𝑖𝑚𝑦²

2ℏ𝑇

⎫

⎪

⎭

𝑓(𝑦)𝑑𝑦

.

(5.2)

Квадрат модуля амплитуды ψ(𝑥,𝑇) даёт вероятность нахождения частицы между точками 𝑥 и 𝑥+𝑑𝑥. В соответствии с нашим определением это совпадает (в пределе 𝑇→∞) с вероятностью того, что величина импульса частицы лежит между 𝑝 и 𝑝+𝑑𝑝:

𝑃(𝑥)𝑑𝑥

=

𝑚𝑑𝑥

2πℏ𝑇

⎪

⎪

⎪

_∞

∫

^-∞

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚

2ℏ𝑇

(𝑦²-2𝑥𝑦)

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝑓(𝑦)𝑑𝑦

⎪²

⎪

⎪

=

𝑃(𝑝)𝑑𝑝

(5.3)

при 𝑇→∞. Подстановка 𝑝=𝑚𝑥𝑇 с учётом предельного перехода к большим 𝑇 приводит к выражению

𝑃(𝑝)𝑑𝑝

=

𝑑𝑝

2πℏ

⎪

⎪

⎪

_∞

∫

^-∞

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖𝑚𝑦²

2ℏ𝑇

-

𝑖𝑝𝑦

ℏ

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

𝑓(𝑦)𝑑𝑦

⎪²

⎪

⎪

.

(5.4)

Ранее мы предположили, что в начальный момент времени частица должна находиться в некоторой ограниченной области ±𝑏 - около начала координат. Это означает, что начальная волновая функция 𝑓(𝑦) спадает до нуля для значений 𝑦, больших по абсолютной величине, чем 𝑏. Далее, при возрастании 𝑇 величина 𝑖𝑚𝑏²/2ℏ𝑇 становится пренебрежимо малой. Так как значения 𝑦, большие по абсолютной величине, чем 𝑏, не дают вклада в интеграл (5.4), то вероятность 𝑃(𝑝)𝑑𝑝 будет приближённо равна произведению 𝑑𝑝/2πℏ на квадрат модуля амплитуды ¹)

φ(𝑝)

=

_+∞

∫

^-∞

exp

⎧

⎪

⎩

-𝑖𝑝𝑦

ℏ

⎫

⎪

⎭

𝑓(𝑦)𝑑𝑦

.

(5.5)

¹) Многие авторы предпочитают включать множитель 1/2πℏ в определение амплитуды ψ(𝑝), куда он входит как 1/√2πℏ Однако, следуя изложенному в § 3 гл. 4, мы предпочитаем писать амплитуду в той форме, которую уже применяли, и при этом помнить, что элемент объёма в импульсном пространстве у нас всегда включает в себя множитель 1/2πℏ для каждой степени свободы. Например, элемент объёма в трёхмерном импульсном пространстве равен 𝑑³𝐩/(2πℏ)³.

Несколько другая интерпретация этого результата даётся на фиг. 5.1 и 5.2.

Фиг. 5.1. Амплитуда вероятности появления частицы, движущейся свободно.

В точке 𝑥 в интервале времени 𝑇 она является произведением двух функций. Одна из них 𝑓(𝑦) — амплитуда вероятности того, что частица начинает движение из некоторой точки 𝑦 как это показано пунктирной линией. Вторая — ядро для свободной частицы 𝐾(𝑥,𝑇;𝑦,0) — является амплитудой перехода из точки 𝑦 в точку 𝑥; она представлена синусоидой с медленно изменяющейся длиной волны. Конечное положение 𝑥 мы рассматриваем здесь как начальную точку изменения этой функции, в то время как 𝑦 у нас — переменная величина. Если расстояние точки 𝑥 от начала координат значительно больше расстояния между точками -𝑏 и +𝑏, где функция 𝑓(𝑦) не равна нулю, то длина волны остаётся практически постоянной.

Приближённо её можно записать в виде exp[(-𝑖/ℏ)(𝑚𝑥/𝑇)𝑦] В окончательном выражении для амплитуды вероятности достижения частицей точки 𝑥 эти функции перемножаются и произведение их интегрируется по 𝑦. Так как все частицы проходят примерно одинаковое расстояние за одно и то же время 𝑇 (опять-таки в предположении 𝑥≫𝑏), это выражение совпадает с амплитудой вероятности того, что импульс частиц равен 𝑝=(𝑚𝑥/𝑇).

Фиг. 5.2. Случай периодической амплитуды.

Если приближённо амплитуду 𝑓(𝑦) считать периодической функцией с такой же длиной волны, что и у соответствующего ядра 𝐾, как показано на фиг. а, то интеграл от произведения этих двух функций становится очень большим. Это означает, что с большой вероятностью импульс равен 𝑚𝑥/𝑇.