Квантовая механика и интегралы по траекториям

и не выполнено условие равенства (4.47), которое применялось при выводе выражения (4.62). Оба эти пункта можно одновременно исправить чисто математическим путём. Возвратимся к разложению произвольной функции по собственным функциям φ_𝑛:

𝑓(𝑥)

=

 

∑

^𝑛

𝑎

_𝑛

φ

_𝑛

(𝑥)

(4.65)

и учтём, что все или часть состояний могут принадлежать к непрерывному спектру, так что часть суммы по 𝑛 следует заменить интегралом. Можно математически строго получить корректное выражение для ядра 𝐾, аналогичное выражению (4.62), но применимое также и в том случае, когда состояния находятся в непрерывной части спектра.

Нормировка на конечный объём. Многие физики предпочитают другой, менее строгий подход. То, что они делают, заключается в некоторой модификации исходной задачи, причём результаты (в их физическом смысле) изменятся несущественно, однако все состояния оказываются дискретными по энергии и поэтому все разложения принимают вид простых сумм. В нашем примере этого можно достичь следующим образом. Мы рассматриваем амплитуду вероятности перехода из точки (𝑥₁,𝑡₁) в точку (𝑥₂,𝑡₂) за конечное время. Если эти две точки находятся на некотором конечном расстоянии друг от друга и разделяющий их промежуток времени не слишком велик, то в амплитуде заведомо не будет сколько-нибудь заметных различий от того, является ли электрон действительно свободным или предполагается помещённым в какой-то очень большой ящик объёмом 𝑉 со стенками, расположенными очень далеко от точек 𝑥₁ и 𝑥₂. Если бы частица могла достичь стенок и вернуться назад за время 𝑡₂-𝑡₁, это могло бы сказаться на амплитуде; но если стенки достаточно удалены, то они никак не повлияют на амплитуду.

Конечно, это предположение может стать неверным при некотором специальном выборе стенок; например, если точка 𝑥₂ будет находиться в фокусе волн, вышедших из точки 𝑥₁ и отражённых от стенок. Иногда по инерции допускают ошибку, заменяя систему, находящуюся в свободном пространстве, системой, расположенной в центре большой сферы. Тот факт, что система остаётся точно в центре идеальной сферы, может давать некий эффект (подобно появлению светлого пятна в центре тени от совершенно круглого предмета), который не исчезает, даже если радиус сферы стремится к бесконечности. Влияние поверхности было бы пренебрежимо малым в случае стенок другой формы или для системы, смещённой относительно центра этой сферы.

Рассмотрим сначала одномерный случай. Волновые функции, зависящие от координаты, имеют вид 𝑒^𝑖𝑝𝑥, где 𝑥 принимает оба знака. Какой вид будут иметь функции φ, если область изменения 𝑥 ограничить произвольным интервалом от -𝐿/2 до 𝐿/2? Ответ зависит от граничных условий, определяющих значения φ в точках 𝑥=-𝐿/2 и 𝑥=𝐿/2. Простейшими с физической точки зрения являются граничные условия в случае стенок, создающих для частицы сильный отталкивающий потенциал, ограничивая тем самым область её движения (т.е. при идеальном отражении). В этом случае в точках 𝑥=-𝐿/2 и 𝑥=𝐿/2 φ(𝑥)=0. Решениями волнового уравнения

-

ℏ²

2𝑚

∂²φ

∂𝑥²

=

𝐸φ,

(4.66)

соответствующими энергии 𝐸=𝑝²/2𝑚=ℏ²𝑘²/2𝑚 в области |𝑥|<𝐿/2, будут экспоненты 𝑒^𝑖𝑘𝑥 и 𝑒^{-𝑖𝑘𝑥} или любая их линейная комбинация. Как 𝑒^𝑖𝑘𝑥, так и 𝑒^{-𝑖𝑘𝑥} не удовлетворяют выбранным граничным условиям, однако при 𝑘=𝑛π𝐿 (где 𝑛 — целое число) требуемыми свойствами обладает в случае нечётного 𝑛 их полусумма (т.е. cos 𝑘𝑥), а в случае чётного 𝑛 — делённая на 𝑖 их полуразность (т.е. sin 𝑘𝑥), как это схематически изображено на фиг. 4.1. Таким образом, волновые функции состояний имеют вид синусов и косинусов, а соответствующие им энергетические уровни дискретны и не составляют континуума.

Фиг. 4.1. Вид одномерных волновых функций, нормированных в ящике.

Показаны первые четыре из них. Энергии соответствующих уровней равны 𝐸₁=ℏ²π²/2𝑚𝐿², 𝐸₂=4𝐸₁, 𝐸₃=9𝐸₁ и 𝐸₄=16𝐸₁. Абсолютное значение энергии, которое зависит от размеров нашего фиктивного ящика, несущественно для большинства реальных задач. То, что действительно имеет значение, — это соотношение между энергиями различных состояний.

Если решения записать в виде √2/𝐿 cos 𝑘𝑥 и √2/𝐿 sin 𝑘𝑥, то они будут нормированы, поскольку

_𝐿/2

∫

^𝐿/2

⎧

⎪

⎩

(2/𝐿)

^½

cos 𝑘𝑥

⎫²

⎪

⎭

𝑑𝑥

=1.

(4,67)

Сумма по всем состояниям является суммой по 𝑛. Если мы рассмотрим, например, синусоидальные волновые функции (т.е. чётные значения 𝑛), то при небольших значениях 𝑥 и очень большой величине 𝐿 (стенки далеки от интересующей нас точки) соседние по номерам 𝑛 функции различаются весьма незначительно. Их разность

√

2/𝐿

⎡

⎢

⎣

sin 2π(𝑛+1)

𝑥

𝐿

-sin 2π𝑛

𝑥

𝐿

⎤

⎥

⎦

=

=2

√

2/𝐿

cos 2π

2𝑛+1

2

𝑥

𝐿

sin 2π

𝑥

2𝐿

≈

≈

√

2/𝐿

2π𝑥

𝐿

cos 2π

⎧

⎪

⎩

𝑛+

1

2

⎫

⎪

⎭

𝑥

𝐿

(4.68)

приблизительно пропорциональна малой величине 𝑥/𝐿. Поэтому сумму по 𝑛 можно заменить интегралом по 𝑘=2π𝑛/𝐿. Так как допустимые значения 𝑛 расположены последовательно с интервалом 2π/𝐿, в промежутке Δ𝑛 расположено 𝐿/2πΔ𝑛 состояний. Все это применимо также и к состояниям с косинусоидальной волновой функцией, поэтому во всех наших формулах мы можем заменить суммы интегралами

_∞

∑

^𝑛=0

( )→

_∞

∫

⁰

( )

𝑑𝑛

2π

𝐿,

(4.69)