Квантовая механика и интегралы по траекториям

Вместе с граничным условием (4.28) это уравнение могло бы служить определением функции 𝐾(2,1), если уравнение Шрёдингера рассматривать в качестве основы квантовой механики. Величина 𝐾(2,1), очевидно, является одной из разновидностей функции Грина для уравнения Шрёдингера.

Сохранение вероятности. Определённый соотношением (4.15) оператор Гамильтона обладает интересным свойством: если 𝑓 и 𝑔 — две любые функции, которые обращаются в нуль на бесконечности, то

_∞

∫

_-∞

(𝐻𝑔)*𝑓

𝑑𝑥

=

_∞

∫

_-∞

𝑔*(𝐻𝑓)

𝑑𝑥.

(4.30)

Такая символическая запись означает следующее. В левой части этого равенства мы должны, взяв функцию 𝑔, подействовать на неё оператором 𝐻, получить 𝐻𝑔 и проделать комплексное сопряжение. Полученный результат умножается затем на 𝑓 и интегрируется по всему пространству. Если же образовать величину 𝐻𝑓, умножить её на функцию, комплексно-сопряжённую 𝑔, и проинтегрировать в тех же пределах, получится тот же самый результат. Легко проверить, что это будет именно так, если вычислить выражение ∫(𝐻𝑔)*𝑓𝑑𝑥 (по частям, где это необходимо).

Если в левую часть тождества (4.30) подставить рассмотренный выше оператор (4.15), то получим

-

ℏ²

2𝑚

_∞

∫

_-∞

𝑑²𝑔*

𝑑𝑥²

𝑓𝑑𝑥

+

_∞

∫

_-∞

𝑉𝑔*𝑓𝑑𝑥

=

=-

ℏ²

2𝑚

⎧

⎪

⎩

𝑑𝑔*

𝑑𝑥

𝑓-𝑔*

𝑑𝑓

𝑑𝑥

⎫

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

_∞

_-∞

-

ℏ²

2𝑚

_∞

∫

_-∞

𝑔*

𝑑²𝑓

𝑑𝑥²

𝑑𝑥

+

_∞

∫

_-∞

𝑉𝑔*𝑓𝑑𝑥

(4.31)

(здесь дважды выполнено интегрирование по частям). Если функции 𝑓 и 𝑔 на бесконечности обращаются в нуль, то проинтегрированные члены исчезают и равенство (4.30) доказано. Оператор, обладающий свойством (4.30), называется эрмитовым. Гамильтониан в квантовой механике всегда эрмитов. В более общих случаях, чем рассмотренный выше, интегрирование по одной переменной заменяется интегрированием (или суммированием) по всем переменным системы.

Положив функции 𝑓 и 𝑔 равными ψ(𝑥,𝑡), получим

∫

(𝐻ψ)*ψ

𝑑𝑥

=

∫

ψ*(𝐻ψ)

𝑑𝑥

,

(4.32)

и если функция ψ удовлетворяет волновому уравнению (4.14), то это выражение можно записать как

∫

∂ψ*

𝑑𝑡

ψ𝑑𝑥+

∫

ψ*

∂ψ

𝑑𝑡

𝑑𝑥

=

∂

𝑑𝑡

⎧

⎪

⎩

∫

ψ*ψ

𝑑𝑥

⎫

⎪

⎭

=0.

(4.33)

Отсюда видно, что величина ∫ψ*ψ𝑑𝑥 не зависит от времени. Это легко интерпретировать. Если функция ψ соответствующим образом нормирована, то ψ*ψ выражает вероятность найти систему в точке 𝑥, поэтому интеграл от ψ*ψ равен вероятности вообще обнаружить систему в какой-либо точке пространства. Это вероятность вполне достоверного события, и потому она постоянна и равна единице. Конечно, насколько это касается волнового уравнения, функция ψ может быть умножена на любую постоянную и по-прежнему останется его решением. Квадрат этой константы войдёт в произведение ψ*ψ, и именно ему будет теперь равняться значение интеграла.

В нашем толковании функции ψ как амплитуды вероятности равенство интеграла от ψ*ψ константе является совершенно фундаментальным. На языке функций 𝐾 это означает, что в момент времени 𝑡₂ интеграл от квадрата модуля волновой функции имеет ту же самую величину, что и в момент времени 𝑡₁ т.е. если

ψ(2)=

∫

𝐾(2,1)

𝑓(1)𝑑𝑥

₁

,

(4.34)

то

∫

ψ*(2)ψ(2)𝑑𝑥

₂

=

∫

𝑓*(1)𝑓(1)𝑑𝑥

₁

,

(4.35)

или

∫

∫

∫

𝐾*(2;𝑥

'

¹

,𝑡

₁

)

𝐾*(2;𝑥

₁

,𝑡

₁

)

𝑓*(𝑥

'

¹

)

𝑓(𝑥

₁

)

𝑑𝑥

₁

𝑑𝑥

'

¹

𝑑𝑥

₂

=

=

∫

𝑓*(𝑥

₁

)

𝑓(𝑥

₁

)

𝑑𝑥

₁

.

(4.36)

Так как это должно выполняться для любой функции 𝑓, то

∫

𝐾*(2;𝑥

'

¹

,𝑡

₁

)

𝐾*(2;𝑥

₁

,𝑡

₁

)

𝑑𝑥

₂

=

δ(𝑥

'

¹

-𝑥

₁

).

(4.37)

Следовательно, для того чтобы можно было интерпретировать функцию ψ как амплитуду вероятности, необходимо, чтобы ядро 𝐾 удовлетворяло соотношению (4.37). Мы получили это, исходя из уравнения Шрёдингера. Было бы приятнее вывести это соотношение и другие свойства, такие, как (4.38) и результат задачи (4.7), прямо на основе определения ядра 𝐾 как интеграла по траекториям и не переходить к дифференциальному уравнению. Это, конечно, можно сделать, однако в этом случае вывод не будет столь простым и изящным, каким он должен быть для таких важных соотношений. Справедливость (4.37) можно проверить следующим образом: для малого интервала, когда 𝑡₁=𝑡₂-ε, оно непосредственно следует из выражения exp(𝑖ε𝐿/ℏ) Методом индукции соотношение (4.37) можно далее обобщить для любого интервала. Один из недостатков подхода к квантовой механике, основанного на интегралах по траекториям, состоит в том, что соотношения, включающие такие сопряжённые величины, как ψ* или 𝐾*, не очевидны сами по себе.

Умножая обе части выражения (4.37) на функцию 𝐾(1,3) и интегрируя по переменной 𝑥₁ можно показать, что для 𝑡₂>𝑡₁>𝑡₃

∫

𝐾*(2,1)

𝐾(2,3)

𝑑𝑥

₂

=

𝐾(1,3).

(4.38)

Сравним это с равенством

∫

𝐾(1,2)

𝐾(2,3)

𝑑𝑥

₂

=

𝐾(1,3),

где 𝑡₁>𝑡₂>𝑡₃. Последнее равенство мы можем истолковать следующим образом: если за исходную взята точка 𝑡₃, то 𝐾(2,3) даёт нам амплитуду вероятности для более позднего момента времени 𝑡₂. Если мы хотим перейти к ещё более позднему моменту времени 𝑡₁ то это можно сделать, используя ядро 𝐾(1,2). С другой стороны, если, зная амплитуду в момент времени 𝑡₂, мы захотим вернуться назад, чтобы определить её в более ранний момент времени 𝑡₁<𝑡₂, то это можно сделать, используя ядро 𝐾*(2,1) в соответствии с равенством (4.38). Следовательно, можно сказать, что действие сопряжённого ядра 𝐾*(2,1) компенсирует действие ядра 𝐾(1,2).