Квантовая механика и интегралы по траекториям

1. По отношению к читателю, который интересуется главным образом квантовой механикой, наша задача состоит в том, чтобы связать формулировку, основанную на интегралах по траекториям, с другими изложениями, встречающимися в научной литературе и учебниках, с тем чтобы читатель мог продолжить самостоятельное изучение предмета, научившись переходить с одного языка на другой и обратно.

2. Читателя, который интересуется в основном методом интегралов по траекториям, глава познакомит с техникой сведения определённого класса этих интегралов к дифференциальным уравнениям; такое сведение лучше всего показать на одном квантовомеханическом примере, к которому мы теперь и переходим.

§ 1. Уравнение Шрёдингера

Дифференциальная форма соотношений. Причина того, что мы можем перейти к дифференциальному уравнению, заключена в том, что соотношение (4.1) справедливо для любых точек 1, 2 и 3. Например, момент 𝑡₂ может отличаться от момента 𝑡₃ всего лишь на бесконечно малый интервал ε. Это позволяет нам связать значение интеграла по траекториям, вычисленное для одного момента, с его значением в другой момент, бесконечно близкий к первому. Таким путём мы можем получить для интеграла некоторое дифференциальное уравнение.

Как было уже показано, понятие волновой функции можно ввести как следствие соотношения (4.1). Более того, мы знаем, что выражение

ψ(𝑥

₂

,𝑡

₂

)

=

_∞

∫

^-∞

𝐾(𝑥

₂

,𝑡

₂

;𝑥

₁

,𝑡

₁

)

ψ(𝑥

₁

,𝑡

₁

)

𝑑𝑥

₁

(4.2)

описывает волновую функцию в момент времени 𝑡₂ через волновую функцию в момент времени 𝑡₁. Чтобы получить искомое дифференциальное уравнение, применим это соотношение к специальному случаю, когда время 𝑡₂ отличается от времени 𝑡₁ всего лишь на бесконечно малую величину ε. Ядро 𝐾(2,1) пропорционально экспоненциальной функции от действия для интервала времени (𝑡₁𝑡₂), выраженного в единицах 𝑖/ℏ. Но для малого интервала ε действие приближённо равно произведению ε на значение лагранжиана в некоторой точке этого интервала. Следовательно, в том же приближении, что и для равенства (2.34), мы можем записать

ψ(𝑥,𝑡+ε)

=

_∞

∫

^-∞

1

𝐴

exp

⎡

⎢

⎣

ε

𝑖

ℏ

𝐿

⎧

⎪

⎩

𝑥-𝑦

ε

,

𝑥+𝑦

2

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

ψ(𝑦,𝑡)

𝑑𝑦.

(4.3)

Применим теперь это выражение к частному случаю одномерного движения частицы под воздействием потенциала 𝑉(𝑥,𝑡), т.е. к случаю, когда 𝐿=(𝑚𝑥̇²/2)-𝑉(𝑥,𝑡). Соотношение (4.3) тогда запишется в виде

ψ(𝑥,𝑡+ε)

=

_∞

∫

^-∞

1

𝐴

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

𝑚(𝑥-𝑦)²

2ε

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

×

×

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

-

𝑖

ℏ

ε𝑉

⎧

⎪

⎩

𝑥+𝑦

2

,𝑡

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

ψ(𝑦,𝑡)

𝑑𝑦.

(4.4)

В показателе первой экспоненты появляется величина (𝑥-𝑦)²/ε. Ясно, что если 𝑦 заметно отличается от 𝑥, то эта величина очень велика и, следовательно, при изменении 𝑦 экспонента быстро осциллирует. Область осцилляций первого сомножителя даёт очень малый вклад в интеграл (вследствие слабого изменения всех других величин). Существенный вклад дают лишь значения 𝑦, близкие к 𝑥, когда экспонента изменяется более медленно. На этом основании сделаем подстановку 𝑦=𝑥+η, имея в виду, что заметные вклады в интеграл будут получаться лишь при малых η. После подстановки получаем

ψ(𝑥,𝑡+ε)

=

_∞

∫

^-∞

1

𝐴

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖𝑚η²

2ℏε

⎫

⎪

⎭

exp

⎡

⎢

⎣

-

𝑖ε

ℏ

𝑉

⎧

⎪

⎩

𝑥+

η

2

,𝑡

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

ψ[(𝑥+η),𝑡]

𝑑η.

(4.5)

Фаза первой экспоненты изменяется примерно на радиан, когда η порядка √εℏ/𝑚, так что наибольший вклад в интеграл получится в области именно таких значений η.

Функцию ψ мы можем разложить в степенной ряд, причём необходимо удержать лишь члены порядка ε. Это обеспечивает сохранение членов второго порядка по η. Величину ε𝑉[(𝑥+η/2),𝑡] можно заменить на ε𝑉(𝑥,𝑡), поскольку возникающие при этом ошибки более высокого порядка малости, чем ε. Ограничиваясь в левой части соотношения (4.5) первым порядком по ε, а в правой — первым порядком по ε и вторым по η, получаем

ψ(𝑥,𝑡)

+

ε

∂ψ

∂𝑡

=

_∞

∫

^-∞

1

𝐴

𝑒

^{𝑖𝑚η²/2ℏε}

⎡

⎢

⎣

1-

𝑖ε

ℏ

𝑉(𝑥,𝑡)

⎤

⎥

⎦

×

×

⎡

⎢

⎣

ψ(𝑥,𝑡)

+η

∂ψ

∂𝑥

+

1

2

η²

∂²ψ

∂𝑥²

⎤

⎥

⎦

𝑑η.

(4.6)

Если в правой части удержать лишь основной член, то получим произведение функции ψ(𝑥,𝑡) на интеграл

1

𝐴

_∞

∫

^-∞

𝑒

^{𝑖𝑚η²/2ℏε}

𝑑η

=

1

𝐴

⎧

⎪

⎩

2π𝑖ℏε

𝑚

⎫½

⎪

⎭

;

(4.7)

в левой же части мы имеем только ψ(𝑥,𝑡). Для того чтобы обе части равенства (4.6) совпадали в пределе при ε, стремящемся к нулю, необходимо выбрать 𝐴 таким образом, чтобы выражение (4.7) равнялось единице. Отсюда следует

𝐴=

⎧

⎪

⎩

2π𝑖ℏε

𝑚

⎫½

⎪

⎭

,

(4.8)

что мы видели и ранее [см. формулу (2.21)]. Таким способом величину 𝐴 можно определять и в более сложных задачах. Значение 𝐴 должно выбираться так, чтобы равенство (4.6) выполнялось с точностью до членов нулевого порядка по ε. В противном случае при ε→0 предел исходного интеграла по траекториям не будет существовать.

Для вычисления правой части равенства (4.6) мы должны использовать два интеграла:

_∞

∫

^-∞

1

𝐴

𝑒

^{𝑖𝑚η²/2ℏε}

η

𝑑η

=0

(4.9)

и

_∞

∫

^-∞

1

𝐴

𝑒

^{𝑖𝑚η²/2ℏε}

η²

𝑑η

=

𝑖ℏε

𝑚

(4.10)

Подставив в формулу (4.6) значения этих интегралов, получим

ψ+ε

∂ψ

∂𝑡

=ψ-

𝑖ε

ℏ

𝑉ψ-

ℏε

2𝑖𝑚

∂²ψ

∂𝑥²

.

(4.11)

Последнее равенство будет выполняться с точностью до ε, если функция ψ удовлетворяет уравнению

-

ℏ

𝑖

∂ψ

∂𝑡

=-

ℏ²

2𝑚

∂²ψ

∂𝑥²

+

𝑉(𝑥,𝑡)ψ.

(4.12)