Квантовая механика и интегралы по траекториям

Таким образом, амплитуда 𝐾, как и все другие, представляет собой сумму амплитуд по всем возможным альтернативам. В свою очередь каждая из этих амплитуд является произведением двух: одной — отвечающей движению частицы 𝑋 между заданными конечными точками, когда траектория 𝑥(𝑡) фиксирована, и другой — амплитуды вероятности того, что частица 𝑥 движется именно по этой фиксированной траектории. Конечная сумма по всем альтернативам становится суммой по всем траекториям 𝑥(𝑡). Важно чётко усвоить эту концепцию, так как она содержит в себе один из фундаментальных принципов квантовой электродинамики, изложение которой займёт одну из последующих глав.

Разумеется, применять этот метод бесполезно, если нельзя никак — ни точно, ни приближённо — вычислить интеграл 𝑇 для каждой из возможных траекторий 𝑥(𝑡). Как мы уже видели (см. задачу 3.11), в одном случае, а именно когда 𝑋 — гармонический осциллятор, он вычисляется точно. Это очень важный в практическом отношении случай. Например, когда поле, с которым взаимодействует частица, квантуется, то оно представляет собой осциллятор.

§ 10. Взаимодействие частицы с гармоническим осциллятором

Рассмотрим теперь более подробно взаимодействие частицы с гармоническим осциллятором. Пусть 𝐱 — это координаты частицы, а 𝐗 — координаты осциллятора. Соответствующее действие может быть записано как

𝑆[𝐱,𝐗]=

𝑆

₀

[𝐱]

+

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑔[𝐱(𝑡),𝑡]

𝐗(𝑡)𝑑𝑡

+

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑀

2

(𝐗̇²+ω²𝐗²)

𝑑𝑡,

(3.78)

где 𝑆₀ — действие для частицы в отсутствие осциллятора. Ранее при обсуждении мы принимали, что это действие соответствует случаю свободной частицы. Однако такое предположение не является необходимым; движение частицы, описываемое координатами 𝐱, может усложняться благодаря наличию потенциала. Так, например, действие могло бы иметь вид

𝑆

₀

[𝐱]

=

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

⎡

⎢

⎣

𝑚

2

𝐱̇²-

𝑉(𝐱,𝑡)

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑡.

(3.79)

Второй член в выражении (3.78) отвечает взаимодействию частицы и осциллятора. Заметим, что этот член линеен относительно 𝐗. То, что мы пренебрегаем зависимостью от 𝐗̇, не означает какой-либо утраты общности рассмотрения, поскольку при наличии такого члена от него всегда можно избавиться интегрированием по частям. Коэффициент 𝑔 назовём коэффициентом связи. Мы уже указывали на его зависимость от 𝐱(𝑡), однако он может зависеть также и от других переменных, например от 𝐱̇(𝑡). Поскольку мы рассматриваем общий случай, точный вид этого коэффициента не существен. Последний член в выражении (3.78), очевидно, представляет собой действие для одного лишь осциллятора. Объединив его со вторым членом, мы можем записать функционал (3.77) как

𝑇[𝑥(𝑡)]

=

_𝑏

∫

_𝑎

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

⎧

⎨

⎩

𝑀

2

(𝐗̇²+ω²𝐗²)

+

+

𝑔[𝐱(𝑡),𝑡]

𝐗(𝑡)

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑡

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

𝒟𝐗(𝑡).

(3.80)

Поскольку речь теперь идёт об 𝐗, ситуация становится подобной случаю возмущаемого гармонического осциллятора. Возмущающая сила есть некоторая определённая функция времени. Таким образом, это тот же самый интеграл по траекториям, который рассмотрен в задаче 3.11, с той лишь разницей, что 𝑓(𝑡) заменено на 𝑔[𝑥(𝑡),𝑡], а начальные и конечные значения координат (𝑥_𝑏,𝑥_𝑑) — на (𝐗_𝑏,𝐗_𝑎).

Для иллюстрации мы возьмём (имея в виду упростить выражение) частный случай, когда начальное и конечное значения координат осциллятора равны нулю: 𝐗_𝑏=𝐗_𝑎=0 (такое рассмотрение легко обобщается). Тогда, согласно результату задачи 3.11, имеем

𝑇

=

⎧

⎪

⎩

𝑚ω

2πℏ𝑖 sin ω𝑇

⎫½

⎪

⎭

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖

ℏ𝑚ω sin ω𝑇

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑔[𝐱(𝑡),𝑡]

𝑔[𝐱(𝑠),𝑠]

×

×

sin ω(𝑡

_𝑏

-𝑡)

sin ω(𝑠-𝑡

_𝑎

)

𝑑𝑠

𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

.

(3.81)

Следовательно, ядро в данном случае может быть записано как

𝐾(𝑏,𝑎)

=

⎧

⎪

⎩

𝑚ω

2πℏ𝑖 sin ω𝑇

⎫½

⎪

⎭

_𝑏

∫

_𝑎

⎧

⎪

⎩

exp

𝑖

ℏ

⎧

⎨

⎩

𝑚

2

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝐱̇(𝑡)²

𝑑𝑡-

-

1

𝑚ω sin ω𝑇

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑔[𝐱(𝑡),𝑡]

𝑔[𝐱(𝑠),𝑠]

×

×

sin ω(𝑡

_𝑎

-𝑡)

sin ω(𝑠-𝑡

_𝑎

)

𝑑𝑠

𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝒟𝐱(𝑡).

(3.82)

В случае произвольных значений 𝐗_𝑎, 𝐗_𝑏 выражение для 𝐾 будет аналогичным, но более сложным.

Этот интеграл по траекториям сложнее любого из тех, с которыми мы до сих пор сталкивались, и продвинуться дальше в его вычислении невозможно до тех пор, пока мы не рассмотрим (в последующих главах) различные приближённые методы. Заметим лишь, что подынтегральное выражение по-прежнему можно записывать как exp[(𝑖/ℏ)/𝑆], однако действие 𝑆 теперь уже не является функцией только переменных 𝐱̇, 𝐱 и 𝑡, оно содержит произведение величин, определяемых в два различных момента времени: 𝑠 и 𝑡. Разделение на прошлое и будущее уже невозможно. Обусловлено это тем, что в некоторый предыдущий момент времени частица действует на осциллятор, который в дальнейшем сам воздействует на эту же частицу. Нельзя ввести никакую волновую функцию ψ(𝐱,𝑡), выражающую амплитуду вероятности того, что в момент времени 𝑡 частица находится в заданной точке 𝐱. Подобной амплитуды было бы недостаточно для предсказания будущего, поскольку для этого нужно знать также, что происходит с осциллятором в любой момент времени 𝑡.

§11. Вычисление интегралов по траекториям с помощью рядов Фурье

Рассмотрим интеграл по траекториям для случая гармонического осциллятора (см. задачу 3.8). Этот интеграл имеет вид

𝐾(𝑏,𝑎)

=

_𝑏

∫

_𝑎

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑚

2

(𝑥̇²-ω²𝑥²)