Квантовая механика и интегралы по траекториям

Покажите, что ядро определяется выражением

𝐾=

⎧

⎪

⎩

𝑚ω

2π𝑖ℏ sin ω𝑇

⎫½

⎪

⎭

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

𝑆

_кл

⎫

⎪

⎭

,

где

𝑆

_кл

=

𝑚ω

2 sin ω𝑇

⎡

⎢

⎣

(cos ω𝑇)(𝑥

₂

^𝑏

+𝑥

₂

^𝑎

)-2𝑥

_𝑏

𝑥

_𝑎

+

+

2𝑥_𝑏

𝑚ω

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑓(𝑡) sin ω(𝑡-𝑡

_𝑎

)𝑑𝑡+

2𝑥_𝑎

𝑚ω

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑓(𝑡) sin ω(𝑡

_𝑏

-𝑡)𝑑𝑡-

-

2

𝑚²ω²

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑡

∫

𝑡_𝑎

𝑓(𝑡)𝑓(𝑠) sin ω

(𝑡

_𝑏

-𝑡) sin ω

(𝑠-𝑡

_𝑎

)

𝑑𝑠𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

(3.66)

и 𝑇=𝑡_𝑏-𝑡_𝑎.

Последний результат имеет большое значение для многих прикладных задач. В частности, он находит своё применение в квантовой электродинамике, так как электромагнитное поле может быть представлено в виде набора возмущаемых гармонических осцилляторов.

Задача 3.12. Если волновая функция гармонического осциллятора при 𝑡=0

ψ(𝑥,0)=exp

⎡

⎢

⎣

-

𝑚ω

2ℏ

(𝑥-𝑎)²

⎤

⎥

⎦

,

(3.67)

то, используя соотношение (3.42) и результаты задачи 3.8, покажите, что

ψ(𝑥,𝑡)=exp

⎧

⎨

⎩

-

𝑖ω𝑇

2

-

𝑚ω

2ℏ

⎡

⎢

⎣

𝑥²-2𝑎𝑥𝑒

^-𝑖ω𝑇

+½𝑎²(1+𝑒

^-2𝑖ω𝑇

)

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

(3.68)

и найдите распределение вероятности |ψ|².

§ 7. Системы с многими переменными ¹)

¹) См. работу[4].

Предположим, что система имеет несколько степеней свободы. Ядро, соответствующее такой системе, можно представить в виде (2.25), где символ 𝑥(𝑡) обозначает сейчас не одну, а сразу несколько координат.

В качестве первого примера мы рассмотрим трёхмерное движение частицы, когда траектория определяется тремя функциями 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) и 𝑧(𝑡). В частности, для свободной частицы действие равно

𝑚

2

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

[𝑥̇(𝑡)²+

𝑦̇(𝑡)²+

𝑧̇(𝑡)²]

𝑑𝑡.

Ядро, описывающее переход из некоторой начальной точки (𝑥_𝑎, 𝑦_𝑎, 𝑧_𝑎) в момент времени 𝑡_𝑎 в конечную точку (𝑥_𝑏, 𝑦_𝑏, 𝑧_𝑏) и момент времени 𝑡_𝑎,

𝐾(

𝑥

_𝑏

, 𝑦

_𝑏

, 𝑧

_𝑏

, 𝑡

_𝑏

;

𝑥

_𝑎

, 𝑦

_𝑎

, 𝑧

_𝑎

, 𝑡

_𝑎

)=

=

_𝑏

∫

_𝑎

exp

⎧

⎨

⎩

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑚

2

(𝑥̇²+

𝑦̇²+

𝑧̇²)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝒟𝑥(𝑡)𝒟𝑦(𝑡)𝒟𝑧(𝑡).

(3.69)

Дифференциал здесь записан в виде 𝒟𝑥(𝑡)𝒟𝑦(𝑡)𝒟𝑧(𝑡). Если время разделено на промежутки ε, то положение частицы в момент времени 𝑡_𝑖 задаётся тремя переменными 𝑥_𝑖, 𝑦_𝑖, 𝑧_𝑖 и интеграл по переменным 𝑑𝑥_𝑖, 𝑑𝑦_𝑖, 𝑑𝑧_𝑖 для каждого значения 𝑖 имеет вид, аналогичный выражению (2.22). (Если представлять положение частицы вектором 𝑟 в некотором 𝑠-мерном пространстве, то дифференциал в каждой точке равен элементу объёма 𝑑𝑣_𝑖 или 𝑑^𝑠𝑟_𝑖, и произведение дифференциалов для каждого 𝑖 мы можем записать в более общем виде 𝒟^𝑠𝑟_𝑖.

Если используется определение (2.22), то в каждом временном интервале для каждой из переменных должен быть введён нормировочный множитель 𝐴 [см. формулу (2.21)]. Поэтому если весь интервал времени разделён на 𝑁 промежутков длительностью ε, то в интеграл должен быть включён множитель 𝐴^-3𝑁.

Ещё один пример ситуации с несколькими переменными дают две взаимодействующие системы. Предположим, что одна система представляет собой частицу массой 𝑚, координата которой 𝑥, а другая система — частицу массой 𝑀 и с координатой 𝑋. Допустим, что эти две системы взаимодействуют посредством потенциала 𝑉(𝑥,𝑋). Действие в этом случае равно

𝑆[𝑥(𝑡),𝑋(𝑡)]=

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

⎡

⎢

⎣

𝑚

2

𝑥̇²+

𝑀

2

𝑋̇²-

𝑉(𝑥,𝑋)

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑡,

(3.70)

так что ядро имеет вид

𝐾(

𝑥

_𝑏

, 𝑋

_𝑏

, 𝑡

_𝑏

;

𝑥

_𝑎

, 𝑋

_𝑎

, 𝑡

_𝑎

)=

=

_𝑏

∫

_𝑎

_𝑏

∫

_𝑎

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖

ℏ

𝑆[𝑥(𝑡),𝑋(𝑡)]

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝒟𝑥(𝑡)𝒟𝑋(𝑡).

(3.71)

Это обобщение соотношения (2.25) можно истолковать математически как движение точки в некотором абстрактном двумерном пространстве 𝑥, 𝑋. Однако значительно легче представлять это движение физически, рассматривая его как движение двух отдельных частиц, координаты которых соответственно 𝑥 и 𝑋. Тогда 𝐾 является ядром для перехода частицы массы 𝑚 из пространственно-временной точки (𝑥_𝑎,𝑡_𝑎) в точку (𝑥_𝑏,𝑡_𝑏) и частицы массы 𝑀 из точки (𝑋_𝑎,𝑡_𝑎) в точку (𝑋_𝑏,𝑡_𝑏). Ядро 𝐾 равно в этом случае сумме амплитуд вероятности, взятой по всем возможным траекториям обеих частиц между соответствующими конечными точками. Амплитуда вероятности, отвечающая какой-либо частной комбинации траекторий (т.е. определённым 𝑥 и 𝑋), равна экспоненте 𝑒^𝑖𝑆/ℏ, где 𝑆 — действие, определяемое выражением (3.70). С математической точки зрения амплитуда вероятности представляет собой функционал от двух независимых переменных 𝑥 и 𝑋, и интеграл берётся по обеим этим функциям.

§ 8. Системы с разделяющимися переменными

Допустим, что у нас имеются две частицы, которые движутся в одном или, быть может, нескольких измерениях. Пусть вектор 𝐱 — совокупность координат одной частицы, а вектор 𝐗 — совокупность координат другой (все, как и в предыдущем параграфе, с той лишь разницей, что описание переносится теперь на трёхмерное пространство). Может оказаться, что полное действие разбивается на две части:

𝑆[𝐱,𝐗]=

𝑆

_𝑥

[𝐱]+

𝑆

_𝑋

[𝐗],

(3.72)

где в 𝑆_𝑥 входят только траектории 𝐱(𝑡), а в 𝑆_𝑋 — только траектории 𝐗(𝑡). Это и есть тот случай, когда две частицы не взаимодействуют.

При этом ядро становится произведением двух сомножителей: одного, зависящего только от 𝐱, и другого, зависящего только от 𝐗:

𝐾(

𝐱

_𝑏

, 𝐗

_𝑏

, 𝑡

_𝑏

;

𝐱

_𝑎

, 𝐗

_𝑎

, 𝑡

_𝑎

)=

=

_𝑏

∫

_𝑎

_𝑏

∫

_𝑎

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖

ℏ

{𝑆

_𝑥

[𝐱]+𝑆

_𝑋

[𝐗]}

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝒟³𝐱(𝑡)𝒟³𝐗(𝑡)=

=

_𝑏

∫

_𝑎

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖

ℏ

𝑆

_𝑥

[𝐱]

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝒟𝐱(𝑡)

_𝑏

∫

_𝑎

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖

ℏ

𝑆

_𝑋

[𝐗]

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝒟𝐗(𝑡)=

=

𝐾

_𝑥

(

𝐱

_𝑏

, 𝑡

_𝑏

;

𝐱

_𝑎

, 𝑡

_𝑎

)

𝐾

_𝑋

(

𝐗

_𝑏

, 𝑡

_𝑏

;

𝐗

_𝑎

, 𝑡

_𝑎

).

(3.73)