Квантовая механика и интегралы по траекториям

Таким образом, ядро 𝐾(𝑥₂,𝑡₂;𝑥₁,𝑡₁) = ψ(𝑥₂𝑡₂) фактически представляет собой волновую функцию. Это ядро есть амплитуда вероятности попасть в точку (𝑥₂𝑡₂). Запись 𝐾(𝑥₂,𝑡₂;𝑥₁,𝑡₁) содержит больше информации, в частности, указывает, что эта амплитуда соответствует конкретному случаю, когда частица приходит из точки (𝑥₁,𝑡₁). Возможно, для некоторых задач такая информация не представляет интереса, так что сохранять её нет смысла. Тогда мы будем применять для волновой функции обозначение ψ(𝑥₂,𝑡₂).

Так как волновая функция является амплитудой, она удовлетворяет правилам, по которым складываются амплитуды последовательных во времени событий. Так, поскольку соотношение (2.31) справедливо для любых точек (𝑥₁,𝑡₁), волновая функция удовлетворяет интегральному уравнению

ψ(𝑥

₂

,𝑡

₂

)=

_∞

∫

^-∞

𝐾(𝑥

₂

,𝑡

₂

;𝑥

₃

,𝑡

₃

)

ψ(𝑥

₃

,𝑡

₃

)

𝑑𝑥

₃

.

(3.42)

Этот результат можно сформулировать на физическом языке. Полная амплитуда перехода в точку (𝑥₂,𝑡₂) [т.е. ψ(𝑥₂,𝑡₂)] представляет собой сумму, или интеграл, по всем возможным значениям 𝑥₃ от произведения полной амплитуды перехода в точку (𝑥₃,𝑡₃)[т.е. ψ(𝑥₃,𝑡₃)] на амплитуду перехода из точки 3 в точку 2 [т.е. 𝐾(𝑥₂,𝑡₂;𝑥₃,𝑡₃)]. Это означает, что влияние всей предыдущей истории частицы может быть выражено всего лишь через одну функцию. Даже если бы мы забыли все, что знали о частице, кроме её волновой функции в некоторый определённый момент времени, тем не менее могли бы предсказать все, что будет происходить с этой частицей в дальнейшем. Влияние всей предыдущей истории на будущее Вселенной могло бы быть получено из одной всеобъемлющей волновой функции.

Задача 3.4. Пусть в момент времени 𝑡=0 свободная частица имеет некоторый определённый импульс [т.е. её волновая функция равна 𝐶 exp (𝑖𝑝𝑥/ℏ)]. Покажите с помощью соотношений (3.3) и (3.42), что в некоторый более поздний момент времени частица имеет тот же импульс [т.е. что волновая функция зависит от 𝑥 через экспоненту exp (𝑖𝑝𝑥/ℏ)] и изменяется в зависимости от времени как exp [(-𝑖𝑝²/2𝑚ℏ]. Это означает, что частица обладает определённой энергией 𝑝²/2𝑚.

Задача 3.5. Используя результаты решения задачи (3.2) и соотношение (3.42), покажите, что волновая функция удовлетворяет уравнению

-

ℏ

𝑖

∂ψ

∂𝑡

=-

ℏ²

2𝑚

∂²ψ

∂𝑥²

(3.43)

которое является уравнением Шрёдингера для случая свободной частицы.

§ 5. Интегралы Гаусса

Мы закончили физическую часть данной главы и перейдём теперь к математическим вопросам. Введём дополнительный математический аппарат, который в некоторых случаях поможет нам вычислить сумму по траектории.

Наиболее простыми являются те интегралы по траекториям, в которых показатель экспоненты содержит переменные в степени не выше второй. Мы будем называть такие интегралы гауссовыми. В квантовой механике это соответствует случаю, когда действие 𝑆 является квадратичной формой от траектории 𝑥(𝑡).

Чтобы проиллюстрировать, как действует в этом случае наш метод, рассмотрим частицу, лагранжиан которой имеет вид

𝐿=

𝑎(𝑡)𝑥̇²+

𝑏(𝑡)𝑥̇𝑥+

𝑐(𝑡)𝑥²+

𝑑(𝑡)𝑥̇+

𝑒(𝑡)𝑥+

𝑓(𝑡).

(3.44)

Действие представляет собой интеграл по времени от этой функции между двумя фиксированными конечными точками. Фактически лангранжиан в этой форме является несколько более общим, чем это необходимо. В тех членах, где множитель 𝑥̇ входит линейно, он может быть исключён интегрированием по частям, однако это обстоятельство сейчас для нас несущественно. Мы хотим определить

𝐾(𝑏,𝑎)=

_𝑏

∫

^𝑎

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝐿(𝑥̇,𝑥,𝑡)𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

𝒟𝑥(𝑡)

(3.45)

— интеграл по всем траекториям, соединяющим точки (𝑥_𝑎,𝑡_𝑎) и (𝑥_𝑏,𝑡_𝑏).

Конечно, можно выполнить интегрирование по всем этим траекториям тем способом, который был описан вначале, т.е. путём разбиения области интегрирования на короткие временные интервалы и т. д. Пригодность этого способа для вычислений следует из того, что подынтегральное выражение представляет собой экспоненту от квадратичной формы переменных 𝑥̇ и 𝑥. Такие интегралы всегда могут быть вычислены. Однако мы не будем проводить эти утомительные вычисления, так как наиболее важные характеристики ядра 𝐾 можно определить следующим образом.

Пусть 𝑥(𝑡) — классическая траектория между некоторыми фиксированными конечными точками. Это — путь, вдоль которого действие 𝑆 экстремально. В обозначениях, которые мы применяли ранее,

𝑆

_кл

[𝑏,𝑎]

=

𝑆[

𝑥

(𝑡)].

(3.46)

Величину 𝑥 можно выразить через 𝑥 и новую переменную 𝑦

𝑥=

𝑥

+𝑦.

(3.47)

Это означает, что каждая точка на траектории определяется уже не её расстоянием 𝑥(𝑡) от произвольной координатной оси, а отклонением 𝑦(𝑡) от классической траектории, как это показано на фиг. 3.7.

Фиг. 3.7. Разность между классической траекторией 𝑥(𝑡) и одной из альтернативных траекторий 𝑥(𝑡), описываемая функцией 𝑦(𝑡).