Квантовая механика и интегралы по траекториям

Эта функция имеет вид, указанный на фиг. 3.4; эффективная ширина кривой связана с параметром 𝑏. Для такой функции приблизительно две трети всей площади под ней лежат между точками -𝑏 и +𝑏.

Фиг.3.4. Вид гауссовой функции 𝐺(𝑦)=𝑒^{-𝑦²/2𝑏²}.

Форма кривой та же самая, что и у нормального распределения со стандартным отклонением, равным 𝑏.

Мы не знаем, каким образом можно было бы технически осуществить такую гауссову щель для реализации нашего мысленного эксперимента. Однако здесь нет принципиальной трудности: просто налицо ситуация, когда в момент времени 𝑇 частицы распределены вдоль оси 𝑥 с относительной амплитудой вероятности, пропорциональной функции 𝐺(𝑦) (относительная вероятность пропорциональна [𝐺(𝑦)]²). Если бы частицы двигались классическим образом, то мы ожидали бы, что по истечении времени 𝑇 они будут распределены вдоль оси 𝑥 так же, как и раньше, но с новым центром распределения на расстоянии 𝑥₁ от точки 𝑥₀ и с большей шириной 𝑏₁ определяемыми равенствами

𝑥

₁

=

⎧

⎪

⎩

𝑥₀

𝑇

⎫

⎪

⎭

τ, 𝑏

₁

=𝑏

⎧

⎪

⎩

1+

τ

𝑇

⎫

⎪

⎭

,

(3.23)

как показано на фиг. 3.5.

Фиг. 3.5. Траектории частиц, движущихся сквозь гауссову щель.

Если частицы подчиняются классическим законам движения, то их распределение в момент времени 𝑇+τ будет иметь тот же самый вид, что и в момент времени 𝑇. Различие состояло бы только в величине уширения, пропорционального времени пролёта частиц. Характеристическая ширина распределения (т.е. ширина на половине высоты пика. — Ред.) будет возрастать от значения 2𝑏 до 2𝑏₁, где 𝑏₁=𝑏(𝑇+τ)/𝑇. В действительности ширина в случае квантовомеханического движения будет больше указанной.

В случае такой гауссовой щели выражением для амплитуды будет

ψ(𝑥)=

_∞

∫

^-∞

𝑚

2π𝑖ℏ√τ𝑇

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚

2ℏ

⎧

⎪

⎩

𝑥²

τ

+

𝑥²₀

𝑇

⎫

⎪

⎭

+

+

𝑖𝑚

ℏ

⎧

⎪

⎩

-

𝑥

τ

+

𝑥₀

𝑇

⎫

⎪

⎭

𝑦+

⎧

⎪

⎩

𝑖𝑚

2ℏτ

+

𝑖𝑚

2ℏ𝑇

-

1

2𝑏²

⎫

⎪

⎭

𝑦²

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑦.

(3.24)

Этот интеграл, подынтегральная функция которого имеет вид exp(α𝑥²+β𝑥), можно вычислить, дополняя показатель экспоненты до полного квадрата:

_∞

∫

^-∞

[exp(α𝑥²+β𝑥)]𝑑𝑥=

⎧

⎪

⎩

π

-α

⎫½

⎪

⎭

exp

⎧

⎪

⎩

-

β²

4α

⎫

⎪

⎭

для Re(α)≤0.

(3.25)

Таким образом, амплитуда становится равной

ψ(𝑥)=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2π𝑖ℏ

⎫½

⎪

⎭

⎡

⎢

⎣

𝑇τ

⎧

⎪

⎩

1

𝑇

+

1

τ

+

ℏ𝑖

𝑏²𝑚

⎫

⎪

⎭

⎤-½

⎥

⎦

×

×exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚

2ℏ

⎧

⎪

⎩

𝑥²

τ

+

𝑥²₀

𝑇

⎫

⎪

⎭

-

(𝑖𝑚/ℏ)²(-𝑥/τ+𝑥₀/𝑇)²

4(𝑖𝑚/2ℏ)(1/τ+1/𝑇+ℏ𝑖/𝑏²𝑚)

⎤

⎥

⎦

.

(3.26)

Классическая скорость при движении от начала координат до центра щели есть 𝑣₀=𝑥₀𝑇. Подставив это в последнее равенство и сгруппировав некоторые члены, получим следующее выражение для амплитуды:

ψ(𝑥)=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2π𝑖ℏ

⎫½

⎪

⎭

⎧

⎪

⎩

𝑇+τ+𝑇τ

ℏ𝑖

𝑚𝑏²

⎫-½

⎪

⎭

×

×exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚

2ℏ

⎧

⎪

⎩

𝑣

₂

⁰

𝑇+

𝑥²

τ

⎫

⎪

⎭

+

(𝑚²/2ℏ²τ²)(𝑥-𝑣₀)²

(𝑚/ℏ)(𝑖/𝑇+𝑖/τ)-1/𝑏²

⎤

⎥

⎦

.

(3.27)

Рассмотрим сначала относительную вероятность достижения частицей различных точек оси 𝑥. Эта вероятность пропорциональна квадрату модуля амплитуды. Заметим, что модуль экспоненты с мнимым показателем равен единице. Выделяя действительные части во втором сомножителе и в показателе последней экспоненты выражения (3.27), получаем

𝑃(𝑥)𝑑𝑥=

𝑚

2πℏ𝑇

𝑏

Δ𝑥

exp

⎡

⎢

⎣

-(𝑥-𝑣₀τ)²

(Δ𝑥)²

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥.

(3.28)

Здесь применялась подстановка

(Δ𝑥)²=𝑏²

⎧

⎪

⎩

1+

τ

𝑇

⎫²

⎪

⎭

+

τ²ℏ²

𝑚²𝑏²

=𝑏

₂

¹

+

τ²ℏ²

𝑚²𝑏²

.

(3.29)

Как мы и ожидали, распределение оказывается гауссовым с центром в точке 𝑥₁=𝑣₀τ, определяемой соотношением (3.23), однако ширина распределения Δ𝑥 больше той величины 𝑏₁ которая следует из этого соотношения. Интерпретировать это можно следующим образом. Пусть 𝑎₁ и 𝑎₂ — две независимые величины и их среднеквадратичные отклонения от средних значений составляют соответственно α₁ и α₂. Тогда если 𝑎₃=𝑎₁+𝑎₂, то среднеквадратичное отклонение величины 𝑎₃ от её среднего значения равно α₃=(α²₁+α²₂)^½. Далее, для какого-либо распределения среднеквадратичное отклонение является мерой его протяжённости, или шириной этого распределения, и для гауссова распределения exp(-𝑥²₁/2𝑏²) величина среднеквадратичного отклонения действительно равна 𝑏.

Таким образом, мы видим, что в данном случае квантовомеханическая система ведёт себя так, как если бы она обладала дополнительной случайной переменной 𝑥₁, среднеквадратичное отклонение которой составляет

Δ𝑥

₁

=

ℏτ

𝑚𝑏

.

(3.30)

Физический смысл имеет именно это дополнительное уширение Δ𝑥₁, а не сама переменная 𝑥₁. Поскольку в этом члене появляется константа ℏ, ясно, что по природе своей он — квантовомеханический. Такой член является существенным в случае узких щелей и частиц с малой массой.

Итак, квантовая механика говорит нам, что после прохождения малых частиц сквозь узкую щель возникает неопределённость в их последующем положении. Эта неопределённость Δ𝑥₁ пропорциональна интервалу времени τ между прохождением частицы сквозь щель и последующим наблюдением её положения. Вводя классическое понятие скорости, мы должны сказать, что прохождение частицы сквозь щель создаёт в значении её скорости неопределённость, величина которой равна

δ𝑣=

ℏ

𝑚𝑏

.

(3.31)

Связанный с шириной щели параметр 2𝑏 мы могли бы рассматривать как меру неопределённости координаты частицы в момент её прохождения сквозь щель. Если обозначить эту неопределённость через δ𝑥 и записать произведение 𝑚𝑣 как импульс 𝑝, то выражение (3.31) приобретает вид

δ𝑝δ𝑥=2ℏ.

(3.32)