Квантовая механика и интегралы по траекториям

Мысленный эксперимент. Физическая интерпретация квантовой механики и её связь с классической станут более понятными, если мы рассмотрим другой, немного более сложный пример. Предположим, что в момент времени 𝑡₀ частица выходит из начала координат, а спустя время 𝑇 мы находим её в некоторой точке 𝑥₀. В классической механике мы говорили бы, что частица обладает скоростью 𝑣₀=𝑥₀/𝑇. При этом подразумевалось бы, что если частица будет продолжать двигаться дальше, то за время τ она пройдёт дополнительное расстояние 𝑣₀τ. Чтобы проанализировать это с точки зрения квантовой механики, попытаемся решить следующую задачу.

В момент времени 𝑡₀ частица выходит из начала координат 𝑥₀. Пусть нам известно, что спустя время 𝑇 она находится в окрестности 𝑥₀±𝑏 точки 𝑥₀. Спрашивается, какова вероятность обнаружить частицу ещё через время τ на расстоянии 𝑥 от точки 𝑥₀? Амплитуду перехода в точку 𝑥 в момент времени 𝑡+τ можно рассматривать как сумму вкладов от всех траекторий, соединяющих начало координат с конечной точкой, при условии, что в момент времени 𝑇 соответствующие траектории лежат в интервале 𝑥₀±𝑏.

Эта амплитуда вычисляется очень быстро, однако стоит сначала разобрать, какого сорта эксперимент мы здесь рассматриваем. Каким образом можно узнать, что данная частица проходит в пределах ±𝑏 от точки 𝑥₀? Можно посмотреть, как обычно, находится ли частица в момент времени 𝑇 в интервале 𝑥₀±𝑏. Это был бы наиболее естественный способ, однако вследствие сложного взаимодействия электрона с прибором детальный анализ его является (по сравнению с другими возможностями) несколько затруднительным.

Фиг. 3.3. Движение частицы сквозь щель.

Известно, что частица, выходящая в момент времени 𝑡=0 из точки 𝑥=0, проходит между точками 𝑥₀-𝑏 и 𝑥₀+𝑏 в момент времени 𝑡=𝑇.

Мы хотим вычислить вероятность нахождения частицы в некоторой точке 𝑥 спустя время τ, т.е. когда 𝑡=𝑇+τ. Согласно классическим законам, частица должна находиться между 𝑥₀(τ/𝑇)+𝑏(1+τ/𝑇) и 𝑥₀(τ/𝑇)-𝑏(1+τ/𝑇), т.е. внутри ортогональной проекции щели. Однако квантовомеханические законы показывают, что частица может с отличной от нуля вероятностью находиться и вне этих классических пределов.

Эту задачу нельзя решать, применяя лишь закон движения для свободной частицы, так как щель ограничивает движение частицы. Поэтому разобьём задачу на две — соответственно двум последовательным движениям свободной частицы: в первой задаче рассматривается движение частицы из точки 𝑥=0 при 𝑡=0 в точку 𝑥=𝑥₀+𝑦 при 𝑡=𝑇, где |𝑦|≤𝑏; во второй — движение из точки 𝑥₀+𝑦 при 𝑡=𝑇 в точку 𝑥 при 𝑡=𝑇+τ. Полная амплитуда вероятности, как это видно из формулы (3.19), равна интегралу от произведения ядер для двух таких движений свободной частицы.

Предположим, что в момент времени 𝑇 нами просматривается, скажем, с помощью яркого света, вся ось 𝑥 за исключением интервала 𝑥₀±𝑏. Как только частица обнаружена, мы прерываем опыт. Примем во внимание лишь те случаи, когда полное обследование всей оси, за исключением интервала 𝑥₀±𝑏, показывает, что нигде нет ни одной частицы, т.е. исключены все траектории, проходящие за пределами интервала 𝑥₀±𝑏. Схема эксперимента приведена на фиг. 3.3. Амплитуду теперь можно написать в виде

ψ(𝑥)=

_𝑏

∫

^-𝑏

𝐾(𝑥+𝑥

₀

,𝑇+τ;𝑥

₀

+𝑦,𝑇)

𝐾(𝑥

₀

+𝑦,𝑇;0,0)𝑑𝑦.

(3.19)

Это выражение записано в соответствии с правилом сложения амплитуд для последовательных во времени событий. Событие первое — частица движется от начала координат до щели. Событие второе — дальнейшее движение частицы от щели до точки 𝑥. Щель имеет конечную ширину, и прохождение через каждую её точку связано с различными альтернативными возможностями; поэтому мы должны интегрировать по всей ширине щели. Частицы, которые минуют эту щель, выбывают из эксперимента, и их амплитуды в сумму не войдут. Все частицы, которые проходят через щель, движутся как свободные, и соответствующие им ядра задаются выражением (3.3). Амплитуда вероятности имеет, таким образом, вид

ψ(𝑥)=

_𝑏

∫

^-𝑏

⎧

⎪

⎩

2π𝑖ℏτ

𝑚

⎫-½

⎪

⎭

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚(𝑥-𝑦)²

2ℏτ

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

⎧

⎪

⎩

2π𝑖ℏ𝑇

𝑚

⎫-½

⎪

⎭

×

×

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚(𝑥₀+𝑦)²

2ℏ𝑇

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑦.

(3.20)

Этот интеграл можно выразить через интегралы Френеля. В таком представлении уже содержатся физические результаты (которые мы обсудим ниже), но они не наглядны из-за математической сложности интегралов Френеля. Чтобы не затемнять математикой физический смысл результатов, мы получим другую, но аналогичную формулу, которая приведёт нас к более простым математическим выражениям.

Гауссова щель. Введём в подынтегральное выражение в качестве вспомогательного множителя функцию 𝐺(𝑦). Если положить эту функцию равной единице в интервале -𝑏≤𝑦≤+𝑏 и равной нулю всюду вне его, то пределы интегрирования можно раздвинуть до бесконечности без изменения результата. Тогда

ψ(𝑥)=

_∞

∫

_-∞

𝑚𝐺(𝑦)

2π𝑖ℏ√τ𝑇

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖𝑚

2ℏ

⎡

⎢

⎣

(𝑥-𝑦)²

τ

+

(𝑥₀-𝑦)²

𝑇

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝑑𝑦,

(3.21)

где

𝐺(𝑦)=

⎧

⎨

⎩

1 для -𝑏≤𝑦≤𝑏,

0 для |𝑦|>𝑏.

Допустим теперь, что в качестве 𝐺(𝑦) взята функция Гаусса

𝐺(𝑦)=𝑒

^{-𝑦²/2𝑏²}

.

(3.22)