Квантовая механика и интегралы по траекториям

Выполнив интегрирование по всем траекториям от 𝑐 до 𝑏, а затем по всем возможным значениям 𝑥_𝑐, получим окончательно

𝐾(𝑏,𝑎)=

∫

𝐾(𝑏,𝑐)

𝐾(𝑐,𝑎)

𝑑𝑥

_𝑐

.

𝑥

_𝑐

(2.31)

Быть может, рассуждения будут более понятыми, если исходить из выражения (2.22). Выделим один из дискретных моментов времени 𝑡_𝑘. Пусть 𝑡_𝑐=𝑡_𝑘 и 𝑥_𝑐=𝑥_𝑘. Сначала интегрируем по всем 𝑥_𝑖 для которых 𝑖<𝑘. Это приведёт к появлению под знаком интеграла множителя 𝐾(𝑐,𝑎). Далее интегрируем по всем 𝑥_𝑖, для которых 𝑖>𝑘; так получается множитель 𝐾(𝑏,𝑐). После этого остаётся проинтегрировать по 𝑥_𝑐, и результат запишется в виде (2.31).

Окончательный итог можно кратко сформулировать следующим образом. Любая из возможных траекторий между точками 𝑎 и 𝑏 однозначно определяется выбором точки 𝑥_𝑐, которая отвечает моменту времени 𝑡_𝑐. В случае частицы, движущейся из точки 𝑎 в точку 𝑏, ядро можно вычислить, руководствуясь такими правилами:

1) ядро, соответствующее переходу из точки 𝑎 в точку 𝑏, равняется сумме амплитуд перехода частицы из точки 𝑎 в точку 𝑐 и далее в точку 𝑏 по всем возможным значениям величины 𝑥_𝑐;

2) амплитуда перехода из точки 𝑎 в точку 𝑐 и далее в точку 𝑏 равна произведению ядер, соответствующих переходам из точки 𝑎 в точку 𝑐 и из точки 𝑐 в точку 𝑏.

Таким образом, имеет место правило: амплитуды последовательных во времени событий перемножаются.

Обобщение правила на случай нескольких событий. Существует много приложений этого важного правила; некоторые из них будут изложены в последующих главах. Здесь же мы покажем, как оно применяется для того, чтобы получить выражение (2.22) другим способом.

Каждую траекторию можно делить на части двумя моментами времени: 𝑡_𝑐 и 𝑡_𝑑. Тогда ядро, соответствующее частице, движущейся из точки 𝑎 в точку 𝑏, можно записать в виде

𝐾(𝑏,𝑎)=

∫

∫

𝐾(𝑏,𝑐)

𝐾(𝑐,𝑑)

𝐾(𝑑,𝑎)

𝑑𝑥

_𝑐

𝑑𝑥

_𝑑

.

𝑥

_𝑐

𝑥

_𝑑

(2.32)

Это означает, что частица, которая движется из точки 𝑎 в точку 𝑏, рассматривается так, как если бы она двигалась сначала из точки 𝑎 в точку 𝑑, потом из точки 𝑑 в точку 𝑐 и, наконец, из точки 𝑐 в точку 𝑏. Амплитуда, соответствующая такой траектории, есть произведение ядер, отвечающих каждой части траектории. Ядро, взятое по всем таким траекториям, проходящим из точки 𝑎 в точку 𝑏, получается интегрированием этого произведения по всем возможным значениям переменных 𝑥_𝑐 и 𝑥_𝑑.

Мы можем продолжать этот процесс до тех пор, пока весь интервал времени не разделится на 𝑁 участков. В результате получим

𝐾(𝑏,𝑎)=

∫

𝑥₁

∫

𝑥₂

…

∫

𝑥_𝑁-1

𝐾(𝑏,𝑁-1)

𝐾(𝑁-1,𝑁-2)

…

𝐾(𝑖+1,𝑖)

…

𝐾(1,𝑎)

𝑑𝑥

₁

𝑑𝑥

₂

…

𝑑𝑥

_𝑁-1

.

(2.33)

Это означает, что мы можем определить ядро способом, отличным от приведённого в соотношении (2.22). В этом новом определении ядро, соответствующее переходу частицы между двумя точками, разделёнными бесконечно малым интервалом времени ε, имеет вид

𝐾(𝑖+1,𝑖)=

1

𝐴

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖ε

ℏ

𝐿

⎧

⎪

⎩

𝑥_𝑖+1-𝑥_𝑖

ε

,

𝑥_𝑖+1+𝑥_𝑖

2

,

𝑡_𝑖+1+𝑡_𝑖

2

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

.

(2.34)

Последнее выражение является точным в первом приближении по ε. Тогда в соответствии с правилами перемножения амплитуд для событий, которые происходят последовательно во времени, мы получим выражение амплитуды, отвечающей всей траектории:

φ[𝑥(𝑡)]=

lim

ε→0

𝑁-1

∏

𝑖=0

𝐾(𝑖+1,𝑖).

(2.35)

Используя затем правило сложения амплитуд, соответствующих альтернативным траекториям, приходим к определению ядра 𝐾(𝑏,𝑎). Окончательное выражение, как можно видеть, совпадает с формулой (2.22).

§ 6. Некоторые замечания

В релятивистской теории электрона мы не сможем выразить амплитуду вероятности, соответствующую некоторой траектории, в виде 𝑒^𝑖𝑆/ℏ или каким-либо другим простым способом. Тем не менее правила сложения амплитуд останутся справедливыми (с некоторыми небольшими изменениями). Как и ранее, для каждой траектории существует амплитуда вероятности, которая по-прежнему задаётся выражением (2.35). Единственное различие состоит в том, что в релятивистской теории ядро 𝐾(𝑖+1,𝑖) выражается уже не так просто, как это имеет место в соотношении (2.34). Трудности возникают в связи с необходимостью учитывать ещё спин и возможность рождения электронно-позитронных пар.

В нерелятивистских системах с большим числом переменных и даже в квантовой теории электромагнитного поля остаются справедливыми не только установленные выше принципы сложения амплитуд, но и сама амплитуда вероятности подчиняется правилам, изложенным в этой главе. Именно движению, связанному с каждой переменной, отвечает амплитуда вероятности, фаза которой равна соответствующему действию, делённому на ℏ. Эти более сложные случаи мы рассмотрим в последующих главах.

Глава 3

ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ИДЕЙ НА КОНКРЕТНЫХ ПРИМЕРАХ