Квантовая механика и интегралы по траекториям

Мы видим, что по мере удаления от начала координат осцилляции становятся все более и более частыми. Если 𝑥 настолько велико, что произошло уже много таких осцилляций, то расстояние между соседними узлами почти постоянно, по крайней мере для нескольких ближайших осцилляций. Другими словами, амплитуда ведёт себя как синусоида с медленно меняющейся длиной волны λ. Представляет интерес вычислить эту длину волны. При изменении 𝑥 на длину волны λ фаза амплитуды должна увеличиться на 2π. Отсюда следует, что

2π=

𝑚(𝑥+λ)²

2ℏ𝑡

-

𝑚𝑥²

2ℏ𝑡

=

𝑚𝑥λ

ℏ𝑡

+

𝑚λ²

2ℏ𝑡

.

(3.8)

Пренебрегая величиной λ² по сравнению с 𝑥λ (т.е. предположив, что 𝑥≫λ, получаем

λ=

2πℏ

𝑚(𝑥/𝑡)

.

(3.9)

С точки зрения классической физики частица, переместившаяся из начала координат в точку 𝑥 за время 𝑡, имеет скорость 𝑥/𝑡 и импульс 𝑚𝑥/𝑡. Когда в квантовой механике движение частицы можно адекватно описать классическим импульсом 𝑝=𝑚𝑥/𝑡, соответствующая амплитуда вероятности изменяется в пространстве синусоидально и длина волны её колебаний равна

λ=

ℎ

𝑝

(3.10)

Это соотношение можно получить и в более общем случае. Предположим, что у нас есть некоторый прибор больших размеров, например магнитный анализатор, который собирает частицы с данным импульсом в заданную точку. Покажем, что если этот прибор достаточно велик и при работе с ним классическая физика является хорошим приближением, то амплитуда вероятности попадания частицы в наперёд заданную точку в пространстве осциллирует с длиной волны, равной ℎ/𝑝. Как мы уже видели, ядро в этом случае можно аппроксимировать выражением

𝐾~exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

𝑆

_кл

(𝑏,𝑎)

⎤

⎥

⎦

.

(3.11)

Вариация положения конечной точки 𝑥_𝑏 вызывает изменение классического действия. Если это действие велико по сравнению с ℏ (квазиклассическое приближение), то при изменении координаты 𝑥_𝑏 ядро 𝐾 будет очень быстро осциллировать. Изменение фазы, приходящееся на единицу смещения конечной точки, составляет

𝑘=

1

ℏ

∂𝑆_кл

∂𝑥_𝑏

.

(3.12)

Но ∂𝑆_кл/∂𝑥_𝑏 есть не что иное, как классический импульс частицы в точке 𝑥_𝑏 (см. задачу 2.4) и, следовательно, 𝑝=ℏ𝑘. Эта величина 𝑘 представляет собой изменение фазы на единицу длины волны и называется волновым числом; ею очень удобно пользоваться. Поскольку на расстоянии, равном длине волны, фаза изменяется на 2π, то 𝑘=2π/λ. Формула (3.12) представляет собой соотношение. де Бройля, связывающее импульс частицы с его волновым числом.

Фиг.3.2. Амплитуда вероятности найти частицу в заданной точке изменяется со временем.

Здесь показана действительная часть амплитуды. Частота колебаний пропорциональна энергии, которую должна была бы иметь частица, чтобы достичь заданной точки за время 𝑡.

Рассмотрим теперь временну'ю зависимость ядра, описывающего свободное движение. Предположим, что расстояние фиксировано, а время переменно. Изменение действительной части ядра (3.7) показано на фиг. 3.2, где вдоль оси времени переменны как частота, так и амплитуда колебаний.

Пусть время 𝑡 так велико, что зависимостью амплитуды колебаний от 𝑡 можно пренебречь. По определению период колебаний 𝑇 равен времени, в течение которого фаза возрастает на 2π тогда

2π=

𝑚𝑥²

2ℏ𝑡

-

𝑚𝑥²

2ℏ(𝑡+𝑇)

=

𝑚𝑥²

2ℏ𝑡²

⎧

⎪

⎩

𝑇

1+𝑇/𝑡

⎫

⎪

⎭

.

(3.13)

Введя угловую частоту ω=2π/𝑇 и предположив, что 𝑡≫𝑇, это выражение можно записать как

ω≈

𝑚

2ℏ

⎧

⎪

⎩

𝑥

𝑡

⎫²

⎪

⎭

(3.14)

Так как величина 𝑚(𝑥/𝑡)²/2 представляет собой классическую энергию свободной частицы, то это равенство утверждает, что

энергия=ℏω.

(3.15)

Соотношение (3.15), равно как и связь между длиной волны и импульсом, справедливо в случае любого прибора, который можно адекватно описать на языке классической физики, и его, так же как соотношение (3.12), можно получить из более общих соображений.

В соответствии с выражением (3.11) любая вариация времени 𝑡_𝑏 в конечной точке приведёт к быстрым осцилляциям ядра. Частота этих осцилляций

ω=

1

ℏ

∂𝑆_кл

∂𝑡

.

(3.16)

Величина ∂𝑆_кл/∂𝑡 в классическом рассмотрении интерпретируется как энергия 𝐸 (см. задачу 2.5), и, следовательно,

ω=

𝐸

ℏ

.

(3.17)

Таким образом, понятия импульса и энергии переносятся в квантовую механику с помощью следующих правил:

1) если амплитуда вероятности изменяется как 𝑒^𝑖𝑘𝑥, то говорят, что частица имеет импульс ℏ𝑘;

2) если эта амплитуда имеет определённую частоту, изменяясь с течением времени как 𝑒^-𝑖ω𝑡, то говорят, что энергия равна ℏω.

Мы только что показали, что эти правила согласуются с определением энергии и импульса в предельном классическом случае.

Задача 3.2. Покажите с помощью подстановки, что в случае свободной частицы, как только 𝑡_𝑏 превосходит 𝑡_𝑎, ядро 𝐾(𝑏,𝑎) удовлетворяет дифференциальному уравнению

-

ℏ

∂𝐾(𝑏,𝑎)

=-

ℏ²

∂²𝐾(𝑏,𝑎)

𝑡

∂𝑡

_𝑏

2𝑚

∂𝑥²

_𝑏

(3.18)

§ 2. Дифракция при прохождении через щель