Квантовая механика и интегралы по траекториям

В этой главе мы получим выражения для ядер, соответствующих некоторым определённым видам движения. Чтобы развить физическую интуицию в отношении движения, подчиняющегося законам квантовой механики, мы будем всегда выявлять физический смысл получаемых математических выражений; здесь же введём волновую функцию и выясним её связь с ядром. Это явится первым шагом в установлении связи нашего подхода к квантовой механике с её более традиционными формулировками.

Рассмотрим также некоторые специальные математические методы вычисления суммы по траекториям. Понятие суммы по всем траекториям было введено в гл. 2 с помощью некоторого специального указания о том, как именно надо проводить вычисление. Хотя это указание, возможно, и разъясняет суть дела, тем не менее оно неудобно для практического пользования. В этой главе изложены более простые методы, которые будут широко применяться в дальнейшем.

Таким образом, настоящая глава преследует три цели: углубить наше понимание квантовомеханических принципов, установить связь между нашим и другими подходами к квантовой механике и, наконец, ввести некоторые полезные математические методы.

§ 1. Свободная частица

Интеграл по траекториям. Для вычисления ядра, соответствующего движению свободной частицы, мы применим здесь метод, использованный в гл. 2 при определении суммы по всем траекториям. Для свободной частицы лагранжиан равен

𝐿=

𝑚𝑥̇²

2

,

(3.1)

поэтому, учитывая выражения (2.21) — (2.23), мы можем записать ядро в виде

𝐾(𝑏,𝑎)=

 

lim

^ε→0

∫∫

…

∫

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚

2ℏε

_𝑁

∑

^𝑖=1

(𝑥

_𝑖

-𝑥

_𝑖-1

)²

⎤

⎥

⎦

×

×

𝑑𝑥

₁

…

𝑑𝑥

_𝑁-1

.

⎧

⎪

⎩

2π𝑖ℏε

𝑚

⎫-𝑁/2

⎪

⎭

.

(3.2)

Выражение в правой части представляет собой цепочку гауссовых интегралов, т.е. интегралов вида

∫

[exp(-𝑎𝑥²)]𝑑𝑥

 или

∫

[exp(-𝑎𝑥²+𝑏𝑥)]𝑑𝑥.

Поскольку интеграл от функции Гаусса снова является такой же функцией, мы можем проинтегрировать по каждой из переменных и затем перейти к пределу. В результате получим

𝐾(𝑏,𝑎)=

⎡

⎢

⎣

2π𝑖ℏ(𝑡_𝑏-𝑡_𝑎)

𝑚

⎤-½

⎥

⎦

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚(𝑥_𝑏-𝑥_𝑎)²

2ℏ(𝑡_𝑏-𝑡_𝑎)

⎤

⎥

⎦

.

(3.3)

Вычисления здесь выполнялись следующим образом. Прежде всего следует заметить, что

_∞

∫

^-∞

⎧

⎪

⎩

2π𝑖ℏε

𝑚

⎫-½

⎪

⎭

exp

⎧

⎨

⎩

𝑚

2𝑖ℏε

[(𝑥

₂

-𝑥

₁

)²+(𝑥

₁

-𝑥

₀

)²]

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑥

₁

=

=

⎧

⎪

⎩

2π𝑖ℏ⋅2ε

𝑚

⎫-½

⎪

⎭

exp

⎡

⎢

⎣

𝑚

2𝑖ℏ⋅2ε

(𝑥

₂

-𝑥

₀

)²

⎤

⎥

⎦

.

(3.4)

Умножим это выражение на функцию

⎧

⎪

⎩

2π𝑖ℏε

𝑚

⎫-½

⎪

⎭

exp

⎡

⎢

⎣

𝑚

2𝑖ℏε

(𝑥

₃

-𝑥

₂

)²

⎤

⎥

⎦

(3.5)

и снова проинтегрируем, на этот раз по переменной 𝑥₂; получим результат, совпадающий с правой частью равенства (3.4), если не считать того, что бином (𝑥₂-𝑥₀)² заменяется на (𝑥₃-𝑥₀)², а величина 2ε в двух местах заменяется на 3ε:

⎧

⎪

⎩

2π𝑖ℏ⋅3ε

𝑚

⎫-½

⎪

⎭

exp

⎡

⎢

⎣

𝑚

2𝑖ℏ⋅3ε

(𝑥

₃

-𝑥

₀

)²

⎤

⎥

⎦

.

Таким образом мы можем построить рекуррентный процесс, который после (𝑛-1)-го шага даёт функцию

⎧

⎪

⎩

2π𝑖ℏ𝑛ε

𝑚

⎫-½

⎪

⎭

exp

⎡

⎢

⎣

𝑚

2𝑖ℏ⋅𝑛ε

(𝑥

_𝑛

-𝑥

₀

)²

⎤

⎥

⎦

.

Поскольку 𝑛ε=𝑡_𝑛-𝑡₀, то легко видеть, что результат (𝑁-1)-го шага совпадает с выражением (3.3).

Существует и другой метод вычисления. Можно воспользоваться соотношением (3.4), чтобы выполнить интегрирование по всем переменным 𝑥_𝑖 с нечётным значением 𝑖 (в предположении, что 𝑁 чётное). Получим выражение, формально совпадающее с формулой (3.2), но содержащее вдвое меньше переменных интегрирования. Оставшиеся переменные определены в моменты времени, отделённые друг от друга интервалом 2ε. Следовательно, по крайней мере в случае, когда 𝑁 можно представить как 2^𝑘, выражение (3.3) получается после 𝑘 таких шагов.

Задача 3.1. Вероятность того, что частица попадёт в точку 𝑏, по определению пропорциональна квадрату модуля ядра 𝐾(𝑏,𝑎). В случае движения свободной частицы, для которого ядро определяется выражением (3.3), эта вероятность

𝑃(𝑏)𝑑𝑥=

𝑚

2πℏ(𝑡_𝑏-𝑡_𝑎)

𝑑𝑥.

(3.6)

Ясно, что это относительная вероятность, так как интеграл по всем значениям 𝑥 расходится. Что означает этот способ нормировки? Покажите, что он соответствует некоторому классическому движению, когда частица выходит из точки 𝑎 с импульсом, все значения которого равновероятны. Покажите, что соответствующая относительная вероятность того, что импульс частицы лежит в интервале 𝑑𝑝, равна 𝑑𝑝/2πℏ.

Импульс и энергия. Выясним теперь смысл ядра, описывающего свободное движение частицы. Для удобства выберем в качестве начала отсчёта пространственных координат и времени точку 𝑎. Тогда амплитуда перехода в некоторую другую точку 𝑏(𝑥,𝑡) будет иметь вид

𝐾(𝑥,𝑡,0,0)=

⎧

⎪

⎩

2π𝑖ℏ𝑡

𝑚

𝑒

^{𝑖𝑚𝑥²/2ℏ𝑡}

⎫-½

⎪

⎭

.

Если момент фиксирован, то эта амплитуда изменяется с расстоянием так, как это показано на фиг. 3.1, где представлена действительная часть выражения (3.7).

Фиг. 3.1. Действительная часть амплитуды перехода в различные точки на расстоянии 𝑥 от начала координат спустя время 𝑡.

Мнимая часть (не показана) представляет собой аналогичную волну, смещённую по фазе на 90°, так что модуль квадрата амплитуды — постоянная величина. Длина волны мала при больших 𝑥 т.е. при таких значениях, которые классическая частица может достичь, лишь если она движется с большой скоростью. В общем случае длина волны и классический импульс обратно пропорциональны друг другу (см. формулу (3.10)].