Квантовая механика и интегралы по траекториям

Мы снова пришли к одной из формулировок принципа неопределённости: хотя в классическом смысле скорость могла быть известна точно, последующее положение частицы приобретает такую дополнительную неопределённость, как если бы частица при прохождении сквозь щель ширины δ𝑥 получала случайный импульс δ𝑝. Если бы для качественного описания результатов квантовой механики использовались классические понятия, то мы бы сказали, что точное определение положения порождает неопределённость в импульсе.

Что за множитель появляется перед экспонентой в выражении (3.28)? Если проинтегрировать это выражение по всей области изменения 𝑥 от -∞ до +∞, то в результате получим

𝑃(для всех 𝑥)=

𝑚

2πℏ𝑇

𝑏√

π

.

(3.33)

Эта величина есть, очевидно, вероятность того, что частица проходит сквозь щель, так как при интегрировании включаются те и только те частицы, которые действительно прошли сквозь щель. Существует и другой способ получения этого результата. Предположим, что мы знаем квадрат модуля ядра 𝐾(𝑥₀+𝑦,𝑇;0,0), составляющего вторую половину подынтегрального выражения (3.20). Это есть не что иное, как отнесённая к единице длины вероятность попадания частицы в точку щели 𝑥₀+𝑦

𝑃(𝑥

₀

+𝑦)𝑑𝑦=

𝑚

2πℏ𝑇

𝑑𝑦.

(3.34)

Эта вероятность в пределах щели не зависит от координаты; следовательно, умножив её на ширину этой щели, мы получили бы полную вероятность попадания частицы в щель. Это означает, что эффективная ширина гауссовой щели равна 𝑏√π. Если бы мы использовали первоначальную щель с резкими границами, то эффективная ширина получилась бы равной 2𝑏.

Задача 3.3. Возведя в квадрат амплитуду, заданную выражением (3.20), и интегрируя затем по 𝑥, покажите, что вероятность прохождения частицы сквозь нашу первоначальную щель

𝑃(пройти сквозь щель)=

𝑚

2πℏ𝑇

2𝑏.

(3.35)

В ходе решения этой задачи появится интеграл

∞

∫

-∞

𝑒

^𝑖𝑎𝑥

𝑑𝑥,

(3.36)

который является интегральным представлением дираковской δ-функции δ(𝑎) ¹).

¹) См. таблицы интегралов в приложении к этой книге и в [2].

Таким образом, квантовомеханические результаты согласуются с представлением о том, что вероятность прохождения частицы сквозь щель равна вероятности попадания этой частицы в щель.

Импульс и энергия. Убедимся теперь ещё раз в том, что когда импульс частицы известен точно, соответствующая ей амплитуда изменяется как 𝑒^𝑖𝑘𝑥. Для этого вернёмся к подробному изучению амплитуды, заданной выражением (3.26). На этот раз попытаемся создать в нашем эксперименте такие условия, чтобы скорость частиц после прохождения щели была известна настолько точно, насколько это возможно.

Совершенно независимо от каких-либо квантовомеханических соображений существует классическая неопределённость скорости порядка 𝑏/𝑇. При любой заданной ширине щели, выбирая время 𝑇 очень большим, можно сделать эту неопределённость пренебрежимо малой. Координату 𝑥₀ можно также взять настолько большой, чтобы при этом средняя скорость 𝑥₀/𝑇=𝑣₀ не обращалась в нуль. Считая 𝑣₀ и интервал времени τ постоянными, в пределе при 𝑇→∞ получаем следующее выражение для амплитуды:

ψ(𝑥)≈

const

(1+τℏ/2𝑚𝑏²)^½

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚𝑥²

2ℏτ

+

𝑚²(𝑥-τ𝑣₀)²

4ℏ²τ²(𝑖𝑚/2ℏτ-1/2𝑚²)

⎤

⎥

⎦

.

(3.37)

Далее мы должны сделать так, чтобы квантовомеханическая неопределённость импульса ℏ/𝑚 стала очень малой. Выберем для этого ширину щели настолько большой, чтобы величиной 1/𝑚² можно было пренебречь. Тогда амплитуда может быть записана в виде

ψ(𝑥)≈

const⋅exp

⎧

⎪

⎩

𝑖𝑚𝑣₀

ℏ

𝑥-

𝑖𝑚𝑣₀²

2ℏ

τ

⎫

⎪

⎭

.

(3.38)

Это весьма важный результат: если мы создали условия, при которых известно, что импульс частицы равен 𝑝, то амплитуда вероятности достижения ею точки 𝑥 в момент времени 𝑡

ψ(𝑥)≈

const⋅exp

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

𝑝𝑥-

𝑖

ℏ

𝑝²

2𝑚

𝑡

⎫

⎪

⎭

.

(3.39)

Мы видим, что это волна с определённым волновым числом 𝑘=𝑝/ℏ. Кроме того, она имеет определённую частоту ω=𝑝²/2𝑚ℏ. Следовательно, можно утверждать, что в квантовой механике свободная частица с импульсом 𝑝 обладает энергией, определяемой как произведение частоты на постоянную ℏ, которая, так же как и в классической механике, равна 𝑝²/2𝑚.

Вероятность попадания в какую-либо точку 𝑝, пропорциональная квадрату модуля соответствующей амплитуды, в этом случае оказывается не зависящей от 𝑝. Следовательно, точное знание скорости частицы означает, что о её положении ничего не известно. При выполнении эксперимента, который даёт нам точное значение скорости частицы, утрачивается возможность точного определения её положения. Мы уже видели, что справедливо и обратное утверждение. Существование квантовомеханического уширения, обратно пропорционального ширине щели 2𝑏, означает, что точное знание положения частицы исключает всякие сведения о её скорости. Таким образом, если вы знаете, где частица находится, то не можете сказать, как быстро она движется; если же вам известно, как быстро она движется, то нельзя сказать, где она. Это ещё одна иллюстрация принципа неопределённости.

§ 3. Результаты в случае щели с резкими краями