Квантовая механика и интегралы по траекториям

содержит в качестве определяющего сомножителя экспоненту exp (𝐸_кл), где 𝐸_кл — экстремальное значение 𝐸, определяемое граничными условиями. Единственное ограничение состоит в том, что величина 𝐸 является функцией второго порядка от переменных 𝑥, 𝑥 и т.д. Остающийся сомножитель представляет собой функцию времени в конечных точках траекторий. Для большинства интегралов, которые мы будем изучать, наиболее существенная информация содержится в основном в экспоненциальном члене, а не в этом сомножителе, который в большинстве практических случаев нам даже не потребуется вычислять. Такой метод вычисления интегралов по траекториям будет часто использоваться в последующих главах.

§ 6. Движение в потенциальном поле

Простое применение наш метод находит в классическом пределе, когда действие 𝑆 очень велико по сравнению с постоянной Планка ℏ. Как мы уже подчёркивали, ядро 𝐾 в этом случае приблизительно пропорционально экспоненте exp (-𝑖𝑆_кл/ℏ). Мы можем теперь математически более строго рассмотреть обоснования такого приближения. Поскольку существенными являются лишь траектории, которые очень близки к классической траектории 𝑥, сделаем подстановку 𝑥=𝑥+𝑦. Тогда, если частица движется в потенциальном поле 𝑉(𝑥), мы можем записать

𝑉(𝑥)=

𝑉(

𝑥

+𝑦)=

𝑉(

𝑥

)+

𝑦𝑉'(

𝑥

)+

𝑦²

2

𝑉''(

𝑥

)+

𝑦³

6

𝑉'''(

𝑥

)+

…,

(3.57)

где штрих обозначает дифференцирование по 𝑥 и все производные вычисляются в точках классической траектории 𝑥. Так как важны лишь малые значения 𝑦, будем предполагать, что 𝑉 — достаточно гладкая функция, так что можно пренебречь членами порядка 𝑦³ и выше. Это означает, что член 𝑦³𝑉''' и все члены более высокого порядка пренебрежимо малы по сравнению с удержанными членами.

В этом предположении подынтегральное выражение можно представить в виде квадратичной формы от 𝑦. Действительно, так как вдоль траектории 𝑥 действие 𝑆 экстремально, то

𝑆=𝑆

_кл

+члены второго порядка по 𝑦.

Главный член в окончательном результате равен exp (𝑖𝑆_кл/ℏ) где 𝑆_кл теперь, очевидно, содержит потенциал 𝑉(𝑥) в точках классической траектории. Остающийся интеграл по 𝑦 берётся от точки 0 до точки 0 и имеет тот же вид, что и последний множитель в выражении (3.50). Этот множитель является гладкой функцией, стоящей перед экспонентой exp (𝑖𝑆_кл/ℏ).

Полученный результат справедлив не только в классическом пределе, но и в других случаях. Предположим, например, что потенциал 𝑉 — квадратичная функция 𝑥. Тогда решение является точным, поскольку разложение потенциала 𝑉 в ряд (3.57) не содержит степеней выше второй. Некоторые примеры такого типа даны в задачах. В качестве другого примера предположим, что потенциал 𝑉 — медленно меняющаяся функция. В частности, если третья и более высокие производные крайне малы, то приведённый выше результат является очень хорошим приближением. Этот частный случай в квантовой механике называется ВКБ-приближением ⁴).

⁴) По именам физиков Вентцеля, Крамерса и Бриллюэна, исследовавших это приближение,— Прим. ред.

Существуют и другие случаи, когда рассматриваемое приближение оказывается хорошим. Предположим, что полное время движения очень мало. Если частица движется по траектории, сильно отличающейся от классической, то она должна иметь очень большую дополнительную скорость (чтобы за указанный интервал времени пройти расстояние от начальной до конечной точки). Добавочная кинетическая энергия пропорциональна квадрату этой большой скорости, а действие содержит член, грубо говоря, пропорциональный произведению кинетической энергии и интервала времени (т.е. пропорциональный квадрату скорости, умноженному на интервал времени). Действие вдоль таких траекторий будет очень большим, и фазы амплитуд вероятности для близлежащих траекторий будут сильно различаться. В этом случае в разложении потенциала 𝑉 снова целесообразно отбросить члены более высокого порядка.

Задача 3.8. Лагранжиан гармонического осциллятора

𝐿=

𝑚

2

𝑥̇²-

𝑚ω²

2

𝑥².

(3.58)

Покажите, что соответствующее ядро равно

𝐾=𝐹(𝑇)=

⎧

⎨

⎩

𝑖𝑚ω

2ℏ sin ω𝑇

[(𝑥

₂

^𝑎

+𝑥

₂

^𝑏

) cos ω𝑇-2𝑥

_𝑎

𝑥

_𝑏

]

⎫

⎬

⎭

,

(3.59)

где 𝑇=𝑡_𝑏-𝑡_𝑎 (см. задачу 2.2). Отметим, что вид функции 𝐹(𝑇) полностью не определяется. Его можно найти, исходя из других соображений; в случае гармонического осциллятора он равен

𝐹(𝑇)=

⎧

⎪

⎩

𝑚ω

2π𝑖ℏ sin ω𝑇

⎫½

⎪

⎭

.

(3.60)

Задача 3.9. Найдите ядро для частицы во внешнем постоянном поле 𝑓, где её лагранжиан равен

𝐿=

𝑚

2

𝑥̇²+𝑓𝑥.

(3.61)

Результат имеет вид

𝐾=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2π𝑖ℏ𝑇

⎫½

⎪

⎭

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖

ℏ

⎡

⎢

⎣

𝑚(𝑥_𝑏-𝑥_𝑎)²

2𝑇

+½𝑓𝑇(𝑥

_𝑎

+𝑥

_𝑏

)-

𝑓𝑇³

24

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

,

(3.62)

где 𝑇=𝑡_𝑏-𝑡_𝑎.

Задача 3.10. Лагранжиан для частицы с зарядом 𝑒 и массой 𝑚 в постоянном внешнем магнитном поле 𝐵, направленном по оси 𝑧,

𝐿=

𝑚

2

(𝑥̇²+𝑦̇²+𝑧̇²)+

𝑒𝐵

2𝑐

(𝑥𝑦̇-𝑦𝑥̇).

(3.63)

Покажите, что соответствующее ядро имеет вид

𝐾=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2π𝑖ℏ𝑇

⎫

⎪

⎭

³/₂

ω𝑇/2

sin ω𝑇/2

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖𝑚ω

2ℏ

⎧

⎨

⎩

(𝑧_𝑏-𝑧_𝑎)²

𝑇

+

+

ω

2

ctg

ω𝑇

2

[(𝑥

_𝑏

-𝑥

_𝑎

)²+

(𝑦

_𝑏

-𝑦

_𝑎

)²]+

ω(𝑥

_𝑎

𝑦

_𝑏

-

𝑥

_𝑏

𝑦

_𝑎

)

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

,

(3.64)

где 𝑇=𝑡_𝑏-𝑡_𝑎 и ω=𝑒𝐵/𝑚𝑐.

Задача 3.11. Предположим, что гармонический осциллятор в задаче 3.8 возмущается внешней силой 𝑓(𝑡). Его лагранжиан

𝐿=

𝑚

2

𝑥̇²-

𝑚ω²

2

𝑥²+

𝑓(𝑡)𝑥.

(3.65)