Квантовая механика и интегралы по траекториям

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝒟𝑥(𝑡).

(3.83)

С помощью методов, изложенных в § 5, этот интеграл по траекториям, как и в задаче 3.8, можно свести к произведению двух функций. Наиболее важная из этих функций зависит от классической траектории гармонического осциллятора и содержится в формуле (3.59). Другая функция, зависящая только от временного интеграла, приведена в равенстве (3.60). Эту функцию можно записать как

𝐹(𝑇)

=

₀

∫

⁰

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

_𝑇

∫

₀

𝑚

2

(𝑦̇²-ω²𝑦²)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝒟𝑦(𝑡).

(3.84)

Мы вычислим этот интеграл, во всяком случае, с точностью до множителя, не зависящего от ω, способом, который иллюстрирует ещё одну возможность в обращении с интегралами по траекториям. Поскольку все траектории выходят из точки 0 в момент времени 𝑡=0 и возвращаются в эту же точку в момент 𝑡=𝑇, функцию 𝑦(𝑡) можно разложить в ряд Фурье по синусам с основной гармоникой, равной 2π/𝑇:

𝑦(𝑡)=

 

∑

^𝑛

𝑎

_𝑛

sin

𝑛π𝑡

𝑇

.

(3.85)

Тогда вместо того, чтобы в каждый момент времени 𝑡 рассматривать траектории как функции от 𝑦, мы можем считать их функциями коэффициентов 𝑎_𝑛. Это есть линейное преобразование, якобиан которого 𝐽 является постоянной величиной, не зависящей, очевидно, от ω, 𝑚 и ℏ.

Конечно, этот якобиан можно вычислить непосредственно. Однако мы избежим здесь этого вычисления, собрав все множители, которые не зависят от ω (в том числе и 𝐽), в одну константу. Точное значение этой постоянной всегда можно найти, поскольку мы знаем её значение 𝐹(𝑇)=√𝑚/2π𝑖ℏ𝑇 для ω=0 (случай свободной частицы).

Интеграл для действия может быть записан через ряды Фурье (3.85). Поэтому член, пропорциональный кинетической энергии, становится равным

_𝑇

∫

₀

𝑦̇²

𝑑𝑡

=

 

∑

^𝑛

 

∑

^𝑚

𝑛π

𝑇

𝑚π

𝑇

𝑎

_𝑛

𝑎

_𝑚

_𝑇

∫

₀

cos

𝑛π𝑡

𝑇

cos

𝑚π𝑡

𝑇

𝑑𝑡

=

=

𝑇⋅

1

2

 

∑

^𝑛

⎧

⎪

⎩

𝑛π

𝑇

⎫²

⎪

⎭

𝑎

²

^𝑛

(3.86)

и аналогично член, пропорциональный потенциальной энергии, становится равным

_𝑇

∫

₀

𝑦²

𝑑𝑡

=

𝑇⋅

1

2

 

∑

^𝑛

𝑎

²

^𝑛

(3.87)

Если предположить, что время 𝑇 разделено на интервалы длины ε, как это указано в равенствах (2.19), так что имеется лишь конечное число 𝑁 коэффициентов 𝑎_𝑛, то интеграл по траекториям приобретает вид

𝐹(𝑇)

=

𝐽

_∞

∫

^-∞

_∞

∫

^-∞

…

_∞

∫

^-∞

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

_𝑁

∑

^𝑛=1

𝑖𝑚

2ℏ

⎡

⎢

⎣

⎧

⎪

⎩

𝑛π

𝑇

⎫²

⎪

⎭

-ω²

⎤

⎥

⎦

𝑎

²

^𝑛

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

×

×

𝑑𝑎₁

𝐴

𝑑𝑎₂

𝐴

…

𝑑𝑎_𝑁

𝐴

.

(3.88)

Поскольку экспонента может быть разбита на сомножители, то можно порознь вычислить интеграл по каждому из коэффициентов 𝑎_𝑛. В результате такого интегрирования получим

_∞

∫

_-∞

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚

2ℏ

⎧

⎪

⎩

𝑛²π²

𝑇²

-ω²

⎫

⎪

⎭

𝑎

²

^𝑛

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑎_𝑛

𝐴

=

⎧

⎪

⎩

𝑛²π²

𝑇²

-ω²

⎫-½

⎪

⎭

.

(3.89)

Таким образом, интеграл по траекториям пропорционален произведению

_𝑁

∏

^𝑛=1

⎧

⎪

⎩

𝑛²π²

𝑇²

-ω²

⎫-½

⎪

⎭

=

_𝑁

∏

^𝑛=1

⎧

⎪

⎩

𝑛²π²

𝑇²

⎫-½

⎪

⎭

_𝑁

∏

^𝑛=1

⎧

⎪

⎩

1-

ω²𝑇²

𝑛²π²

⎫-½

⎪

⎭

.

(3.90)

Первое произведение справа не зависит от ω и объединяется с якобианом и другими сомножителями, которые мы собрали в одну постоянную. Второе произведение стремится к пределу [(sin ω𝑇)/ω𝑇]^-½, когда 𝑁→∞, т.е. когда ε→0. Поэтому

𝐹(𝑇)

=𝐶

⎧

⎪

⎩

sin ω𝑇

ω𝑇

⎫-½

⎪

⎭

,

(3.91)

где постоянная 𝐶 не зависит от ω. Но при ω=0 наш интеграл совпадает со случаем свободной частицы, для которого мы уже нашли, что

𝐹(𝑇)

=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2π𝑖ℏ𝑇

⎫½

⎪

⎭

.

(3.92)

Следовательно, для гармонического осциллятора имеем

𝐹(𝑇)

=

⎧

⎪

⎩

𝑚ω

2π𝑖ℏ sin ω𝑇

⎫½

⎪

⎭

.

(3.93)

Это нужно подставить в формулу (3.59), чтобы получить полное решение.

Задача 3.13. Следя за всеми постоянными, покажите, что якобиан удовлетворяет соотношению

𝐽√

𝑁

⎧

⎪

⎩

𝑇

π

⎫^𝑁

⎪

⎭

_𝑁

∏

^𝑛=𝑖

1

𝑛

→1,

(3.94)

когда 𝑁→∞ .

Глава 4

ШРЕДИНГЕРОВСКОЕ ОПИСАНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

В интегралах по траекториям, которые мы до сих пор рассматривали, всюду [за исключением выражения (3.82)] под знаком интеграла стояли экспоненты от действия, обладающего свойством

𝑆[2,1]=𝑆[2,3]+𝑆[3,1].

(4.1)

Такие интегралы можно исследовать с помощью интегральных уравнений, к которым они сводятся. Мы уже видели это в гл. 2 [см., например, выражение (2.31)] и в гл. 3 [выражение (3.42)].

Ещё более удобным методом, когда это возможно, является сведение интеграла по траекториям к дифференциальному уравнению. Такая возможность в квантовой механике существует и фактически представляет собой самый удобный способ изложения этой теории. Почти всегда бывает легче решить дифференциальное уравнение, чем непосредственно вычислять интеграл по траекториям. Обычное изложение квантовой механики основано именно на таком дифференциальном уравнении, известном как уравнение Шрёдингера. В данной главе мы выведем это уравнение на основе нашей формулировки квантовой механики, но не будем рассматривать его решение для большого числа примеров, поскольку такие решения достаточно подробно рассмотрены в других книгах ¹).

¹) См., например, [2]. (Большое число поучительных примеров, связанных с решением уравнения Шрёдингера, имеется в книгах советских авторов: Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Квантовая механика, нерелятивистская теория, М., 1963; Д. И. Блохинцев, Основы квантовой механики, М., 1962; А. А. Соколов, Ю. М., Лоскутов и И. М. Тернов, Квантовая механика, М., 1962, и многих других.— Прим. ред.)

Заметим, что эта глава преследует двойную цель.