Квантовая механика и интегралы по траекториям

Это и есть уравнение Шрёдингера для нашей задачи о движении частицы в одном измерении. Соответствующие уравнения для более сложных случаев можно составлять так же, как это сделано в рассмотренных ниже задачах.

Задача 4.1. Покажите, что для трёхмерного движения частицы во внешнем поле с потенциалом 𝑉 уравнение Шрёдингера имеет вид

-

ℏ

𝑖

∂ψ

∂𝑡

=-

ℏ²

2𝑚

∇²ψ+𝑉ψ.

(4.13)

Это уравнение, впервые записанное Шрёдингером в 1925 г., определило центральное направление всего последующего развития квантовой механики.

Операторная форма уравнения Шрёдингера. Все уравнения, получаемые (соответственно различным видам лагранжиана) при решении, разных задач, можно для удобства записать в виде

-

ℏ

𝑖

∂ψ

∂𝑡

=

𝐻ψ.

(4.14)

Символ 𝐻 здесь не является числом, а указывает на операцию, которую необходимо совершить над функцией ψ. Этот символ называется оператором Гамильтона. Например, для уравнения (4.12)

𝐻=-

ℏ²

2𝑚

∂²

∂𝑥²

+𝑉.

(4.15)

Такое операторное соотношение означает, что если под каждый оператор в обеих частях равенства подставить одну и ту же (любую) функцию ƒ, то образуется полное уравнение для этой функции. Таким образом, соотношение (4.15) символически утверждает, что уравнение

𝐻ƒ=-

ℏ²

2𝑚

∂²

∂𝑥²

+𝑉ƒ

(4.16)

справедливо для любой функции ƒ.

Задача 4.2. Лагранжиан заряженной частицы в магнитном поле равен

𝐿=

𝑚𝑟̇²

2

+

𝑒

𝑐

𝐫̇⋅𝐀-𝑒φ,

(4.17)

где 𝐫̇ — вектор скорости, 𝑒 — заряд, 𝑐 — скорость света, 𝐀 и φ — векторный и скалярный потенциалы. Покажите, что соответствующее уравнение Шрёдингера имеет вид

-

ℏ

𝑖

∂ψ

∂𝑡

=

1

2𝑚

⎧

⎪

⎩

ℏ

𝑖

𝛁

-

𝑒

𝑐

𝐀

⎫

⎪

⎭

⋅

⎧

⎪

⎩

ℏ

𝑖

𝛁

-

𝑒

𝑐

𝐀

⎫

⎪

⎭

ψ+𝑒φψ.

(4.18)

Следовательно, в этом случае гамильтониан равен

𝐻=

1

2𝑚

⎧

⎪

⎩

ℏ

𝑖

𝛁

-

𝑒

𝑐

𝐀

⎫

⎪

⎭

⋅

⎧

⎪

⎩

ℏ

𝑖

𝛁

-

𝑒

𝑐

𝐀

⎫

⎪

⎭

+𝑒φ.

(4.19)

Задача 4.3. Покажите, что комплексно-сопряжённая функция ψ* (которая получается, если в функции ψ изменить знак всех 𝑐) удовлетворяет уравнению

ℏ

𝑖

∂ψ*

∂𝑡

=

(𝐻ψ)*.

(4.20)

Смысл понятия «оператор» станет яснее из следующих примеров. Например, оператор 𝑥 означает умножение на 𝑥, оператор 𝑥² — умножение на 𝑥², оператор 𝑉(𝑥) (некоторая функция от 𝑥) — умножение на 𝑉(𝑥), оператор ∂/∂𝑥 — частное дифференцирование по 𝑥 и т.д.

Если 𝐴 и 𝐵 являются операторами, то оператор 𝐴𝐵 означает, что мы должны сначала применить оператор 𝐵 и затем уже оператор 𝐴, т.е. 𝐴𝐵ψ=𝐴(𝐵ψ). Поэтому, например, оператор 𝑥(∂/∂𝑥) означает умножение 𝑥 на ∂ψ/∂𝑥. С другой стороны, (∂/∂𝑥)𝑥 означает частную производную по 𝑥 от функции 𝑥ψ, или (∂/∂𝑥)(𝑥ψ)=𝑥(∂ψ/∂𝑥)+ψ. Мы видим, что операторы 𝐴𝐵 и 𝐵𝐴, вообще говоря, не тождественны. Оператор 𝐴+𝐵 определим так, чтобы действие 𝐴+𝐵 на функцию ψ давало функцию 𝐴ψ+𝐵ψ. Например, предыдущее соотношение можно следующим образом записать в виде уравнения операторов:

∂

∂𝑥

𝑥

=

𝑥

∂

∂𝑥

+1.

(4.21)

Это означает, что соотношение (∂/∂𝑥)𝑥ƒ=𝑥(∂/∂𝑥)ƒ+ƒ выполняется для любой функции ƒ.

Задача 4.4. Покажите, что

∂²

∂𝑥²

𝑥

=

𝑥

∂²

∂𝑥²

+2

∂

∂𝑥

(4.22)

и, следовательно, определённый формулой (4.15) оператор 𝐻 будет удовлетворять соотношению

𝐻𝑥-𝑥𝐻

=-

ℏ²

2𝑚

∂

∂𝑥

.

(4.23)

Такая операторная запись очень широко применяется в общепринятых формулировках квантовой механики.

Уравнение Шрёдингера для ядра. Поскольку ядро 𝐾(2,1), рассматриваемое как функция координат точки 2, представляет собой частный вид волновой функции (а именно волновую функцию частицы, исходящей из точки 1), оно тоже должно удовлетворять уравнению Шрёдингера. Поэтому в случае, соответствующем равенству (4.15), получаем

-

ℏ

∂

𝐾(2,1)=-

ℏ²

∂²

𝐾(2,1)+𝑉(2)𝐾(2,1)

 (если 𝑡

₂

>𝑡

₁

),

𝑖

∂𝑡

₂

2𝑚

∂𝑥

²

²

(4.24)

а в общем случае имеем для 𝑡₂>𝑡₁

-

ℏ

𝑖

∂𝐾(2,1)

∂𝑥₂

-𝐻

₂

𝐾(2,1)=0,

(4.25)

где оператор 𝐻₂ действует только на координаты точки 2.

Задача 4.5. Используя соотношение

𝐾(2,1)=

_∞

∫

_-∞

𝐾(2,3)

𝐾(3,1)

𝑑𝑥

₃

(4.26)

(где 𝑡₃-𝑡₁=ε — бесконечно малая величина), покажите, что если 𝑡₂>𝑡₁ то ядро 𝐾 удовлетворяет уравнению

+

ℏ

𝑖

∂

∂𝑡₁

𝐾(2,1)-𝐻

_*

¹

𝐾(2,1)=0,

(4.27)

где оператор 𝐻₁ действует только на координаты точки 1.

Функция 𝐾(2,1), если её рассматривать как интеграл по траекториям, определена лишь для 𝑡₂>𝑡₁. Она остаётся неопределённой, если 𝑡₂<𝑡₁. Как мы увидим из дальнейшего, очень удобно положить 𝐾(2,1) для 𝑡₂<𝑡₁ равным нулю [в частности, соотношение (4.2) в этом случае будет справедливо только при 𝑡₂>𝑡₁. Если

𝐾(2,1)=0 для 𝑡

₂

<𝑡

₁

(4.28)

уравнение (4.25), очевидно, справедливо также и в области 𝑡₂<𝑡₁ (что является тривиальным, поскольку 𝐾=0). Однако это уравнение не удовлетворяется в точке 𝑡₂=𝑡₁, так как функция 𝐾(2,1) при 𝑡₂=𝑡₁ терпит разрыв.

Задача 4.6. Покажите, что 𝐾(2,1)→δ(𝑥₂-𝑥₁), когда 𝑡₂→𝑡₁+0.

Из результата задачи 4.6 мы видим, что дифференцирование ядра 𝐾 по переменной 𝑡₂ даёт δ-функцию времени, умноженную на δ(𝑥₂-𝑥₁) — производную от ступенчатой функции. Следовательно, ядро 𝐾 удовлетворяет уравнению

-

ℏ

𝑖

∂𝐾(2,1)

∂𝑡₂

-𝐻

₂

𝐾(2,1)

=-

ℏ

𝑖

δ(𝑥

₂

-𝑥

₁

)

δ(𝑡

₂

-𝑡

₁

).

(4.29)