Квантовая механика и интегралы по траекториям

Задача 4.7. Покажите, что если 𝑡₁<𝑡₃, то левая часть равенства (4.38) равна 𝐾*(3,1).

§ 2. Гамильтониан, не зависящий от времени

Стационарные состояния с определённой энергией. Специальный случай, когда гамильтониан 𝐻 оказывается не зависящим от времени, очень важен в практическом отношении. Ему соответствует действие 𝑆, не зависящее явным образом от времени 𝑡 (например, когда потенциалы 𝐀 и 𝑉 не содержат время 𝑡). В таком случае ядро зависит не от переменной времени 𝑡, а будет функцией лишь интервала 𝑡₂-𝑡₁. Вследствие этого факта возникают волновые функции с периодической зависимостью от времени.

Как это происходит, легче всего понять, если обратиться к дифференциальному уравнению. Попытаемся найти частное решение уравнения Шрёдингера (4.14) в виде ψ=𝑓(𝑡)φ(𝑥), т.е. в виде произведения функции, зависящей только от времени, и функции, зависящей только от координат. Подстановка в уравнение (4.14) даёт соотношение

-

ℏ

𝑖

𝑓'(𝑡)φ(𝑥)

=

𝐻𝑓(𝑡)φ(𝑥)

=

𝑓(𝑡)𝐻φ(𝑥),

(4.39)

или

-

ℏ

𝑖

𝑓'

𝑓

=

1

φ

𝐻φ.

(4.40)

Левая часть этого уравнения не зависит от 𝑥, тогда как правая не содержит зависимости от 𝑡. Для того чтобы это уравнение удовлетворялось при любых 𝑥 и 𝑡, обе его части не должны зависеть от этих переменных, т.е. должны быть постоянными. Обозначим такую постоянную через 𝐸. Тогда

𝑓'=

-

𝑖

ℏ

𝐸𝑓,

или

𝑓=

𝑒

^{-𝑖𝐸𝑡/ℏ}

с точностью до произвольного постоянного множителя. Таким образом, искомое частное решение имеет вид

ψ(𝑥,𝑡)

=

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐸𝑡}

φ(𝑥),

(4.41)

где функция φ удовлетворяет уравнению

𝐻φ

=

𝐸φ,

(4.42)

а это как раз и означает, что соответствующая такому частному решению волновая функция осциллирует с определённой частотой. Мы уже видели, что частота осцилляций волновой функции связана с классической энергией. Поэтому когда волновая функция системы имеет вид (4.41), то говорят, что система обладает определённой энергией 𝐸. Каждому значению энергии 𝐸 соответствует своя особая функция φ — частное решение уравнения (4.42).

Вероятность того, что частица находится в точке 𝑥, задаётся квадратом модуля волновой функции ψ, т.е. |ψ|². В силу равенства (4.41) эта вероятность равна |φ|² и не зависит от времени. Другими словами, вероятность обнаружить частицу в какой-либо точке пространства не зависит от времени. В таких случаях говорят, что система находится в стационарном состоянии — стационарном в том смысле, что вероятности никак не изменяются со временем.

Подобная стационарность в какой-то степени связана с принципом неопределённости, поскольку, если нам известно, что энергия точно равна 𝐸, время должно быть полностью неопределённым. Это согласуется с нашим представлением о том, что свойства атома в точно определённом состоянии совершенно не зависят от времени, и при измерениях мы получали бы тот же самый результат в любой момент.

Пусть 𝐸₁ — значение энергии, при котором уравнение (4.42) имеет решение φ₁ и 𝐸₂ — другое значение энергии, соответствующее некоторому другому решению φ₂. Тогда мы знаем два частных решения уравнения Шрёдингера, а именно:

φ

₁

=

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐸₁𝑡}

φ

₁

(𝑥)

 и

ψ

₂

=

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐸₂𝑡}

φ

₂

(𝑥);

(4.43)

так как уравнение Шрёдингера линейно, то ясно, что наряду с ψ его решением будет и 𝑐ψ. Кроме того, если ψ₁ и ψ₂ — два решения уравнения, то и сумма их также является решением. Поэтому ясно, что функция

ψ=

𝑐

₁

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐸₁𝑡}

φ

₁

(𝑥)

+

𝑐

₂

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐸₂𝑡}

φ

₂

(𝑥)

(4.44)

тоже будет решением уравнения Шрёдингера.

Вообще можно показать, что если известны все возможные значения энергии 𝐸 и найдены соответствующие им функции φ то любое решение ψ уравнения (4.14) можно представить в виде линейной комбинации всех частных решений типа (4.43), соответствующих определённым значениям энергии.

Полная вероятность найти систему в какой-либо точке пространства, как показано в предыдущем параграфе, является константой. Это должно быть справедливо при любых значениях 𝑐₁ и 𝑐₂. Поэтому, используя для функции ψ выражение (4.44) получаем

∫

ψ*ψ

𝑑𝑥

=

𝑐

*

1

𝑐

₂

∫

|φ

₁

|²

𝑑𝑥

+

𝑐

*

1

𝑐

₂

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

(𝐸

₁

-𝐸

₂

)𝑡

⎤

⎥

⎦

∫

φ

_*

¹

φ

₂

𝑑𝑥

+

+

𝑐

₁

𝑐

_*

²

exp-

𝑖

ℏ

(𝐸

₁

-𝐸

₂

)𝑡

∫

φ

₁

φ

_*

²

𝑑𝑥

+

𝑐

_*

²

𝑐

₂

∫

φ

_*

²

φ

₂

𝑑𝑥.

(4.45)

Так как правая часть должна оставаться постоянной, то зависящие от времени члены (т.е. члены, содержащие экспоненты exp[±(𝑖/ℏ)(𝐸₁-𝐸₂)𝑡] должны обращаться в нуль независимо от выбора коэффициентов 𝑐₁ и 𝑐₂. Это означает, что

_∞

∫

^-∞

φ

_*

¹

φ

₂

𝑑𝑥

=

_∞

∫

^-∞

φ

₁

φ

_*

²

𝑑𝑥

=0.

(4.46)

Если две функции 𝑓 и 𝑔 удовлетворяют соотношению

∫

𝑓*𝑔

𝑑𝑥

=0,

то говорят, что они ортогональны. Таким образом, из равенства (4.46) следует, что два состояния с различной энергией ортогональны.

Ниже будет дана интерпретация выражений типа ∫𝑓*𝑔𝑑𝑥, и мы увидим, что равенство (4.46) отражает тот факт, что если частица имеет энергию 𝐸 [и, следовательно, её волновая функция ψ₁=exp(𝑖𝐸₁𝑡/ℏ)φ₁], то вероятность обнаружить у неё другое значение энергии 𝐸₂ [т.е. волновую функцию exp(𝑖𝐸₂𝑡/ℏ)φ₂] должна равняться нулю.