Квантовая механика и интегралы по траекториям

Ядро в импульсном представлении. Мы показали (см. § 4 гл. 3), как с помощью ядра, которое описывает движение частицы в промежуточные моменты времени, находится волновая функция для некоторого момента времени 𝑡₂, если известна волновая функция для более раннего момента времени 𝑡₁ а именно

ψ(𝐑

₂

,𝑡

₂

)

=

_𝑡2

∫

^𝑡₁

_𝐑1

∫

 

𝐾(𝐑

₂

,𝑡

₂

;𝐑

₁

,𝑡

₁

)

ψ(𝐑

₁

,𝑡

₁

)

𝑑³𝐑

₁

𝑑𝑡

₁

.

(5.9)

Существует также выражение для ядра в импульсном пространстве, которое можно было бы использовать в аналогичной формуле. Тогда амплитуда в пространстве импульсов для момента времени 𝑡₂ окажется выраженной через амплитуду, относящуюся к более раннему моменту времени 𝑡₁:

φ(𝐩

₂

,𝑡

₂

)

=

_𝑡2

∫

^𝑡₁

_𝐩1

∫

 

𝒦(𝐩

₂

,𝑡

₂

;𝐩

₁

,𝑡

₁

)

φ(𝐩

₁

,𝑡

₁

)

𝑑³𝐩₁

(2πℏ)³

𝑑𝑡

₁

.

(5.10)

Подставив в соотношение (5.9) значение ψ(𝐑₁,𝑡₁) из формулы (5.8) и выполнив, как это указано в (5.57), преобразование Фурье от функции ψ(𝐑₂,𝑡₂) к φ(𝐩₂,𝑡₂), мы выразим ядро в импульсном представлении через его значение в координатном представлении

𝒦(𝐩

₂

,𝑡

₂

;𝐩

₁

,𝑡

₁

)

=

=

_𝐑1

∫

 

_𝐑2

∫

 

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐩₂⋅𝐑₂}

𝐾(𝐑

₂

,𝑡

₂

;𝐑

₁

,𝑡

₁

)

𝑒

^{+(𝑖/ℏ)𝐩₁⋅𝐑₁}

𝑑³𝐑

₁

𝑑³𝐑

₂

.

(5.11)

Например, ядро, описывающее движение свободной частицы в импульсном пространстве, имеет вид

𝒦

₀

(𝐩

₂

,𝑡

₂

;𝐩

₁

,𝑡

₁

)

=

=

_𝐑1

∫

 

_𝐑2

∫

 

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐩₂⋅𝐑₂}

𝐾

₀

(𝐑

₂

,𝑡

₂

;𝐑

₁

,𝑡

₁

)

𝑒

^{(𝑖ℏ)𝐩₁⋅𝐑₁}

𝑑³𝐑

₁

𝑑³𝐑

₂

=

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

(2πℏ)³δ³

(𝐩

₁

-𝐩

₂

)

exp

⎡

⎢

⎣

-

𝑖|𝐩₁|²

2ℏ𝑚

(𝑡

₂

-𝑡

₁

)

⎤

⎥

⎦

при

𝑡

₂

>𝑡

₁

,

0

при

𝑡

₂

<𝑡

₁

.

(5.12)

Последнее равенство следует из условия (4.28). То, что в это выражение входит дельта-функция, доказывает постоянство импульса свободной частицы, как это видно из фиг. 5.3. Однако фаза волновой функции в импульсном пространстве непрерывно изменяется благодаря множителю exp(-𝑖𝐸𝑡/ℏ), где 𝐸=𝑝²/2𝑚. Этот вывод, следующий из формулы (5.12), можно непосредственно получить также из соотношения (4.64).

Фиг. 5.3. Ядро, описывающее движение свободной частицы в импульсном и координатном пространствах.

В импульсном представлении существует единственная траектория, двигаясь по которой частица достигает значения импульса 𝑝₂ в момент времени 𝑡₂. Эта траектория должна начинаться со значения импульса 𝑡₁=𝑡₂ Все другие траектории не дают вклада в ядро.

Ядро (5.12) открывает возможность для более простого описания свободной частицы, чем ядро в координатном представлении. В общем случае, когда частица не является свободной, а движется под воздействием потенциала, ядро в импульсном представлении не имеет такого простого вида. Однако влияние потенциала можно рассмотреть методами теории возмущений, и выражение в этом случае снова будет достаточно простым.

Преобразование энергия — время. Для многих приложений, в частности в релятивистской квантовой механике, оказывается более удобным рассматривать пространственные и временные координаты симметричным образом. В этом случае к преобразованию перехода от координатного к импульсному представлению присоединяется также преобразование время → энергия. Таким образом, полное преобразование ядра будет иметь вид

𝑘(𝐩

₂

,𝐸

₂

;𝐩

₁

,𝐸

₁

)

=

_𝐑1

∫

 

_𝐑2

∫

 

_∞

∫

^-∞

_∞

∫

^𝑡₁

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐩₂⋅𝐑₂}

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐸₂𝑡₂}

𝐾(𝐑

₂

,𝑡

₂

;𝐑

₁

,𝑡

₁

)

×

×

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐩₁⋅𝐑₁}

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐸₁𝑡₁}

𝑑³𝐑

₁

𝑑³𝐑

₂

𝑑𝑡

₁

𝑑𝑡

₂

.

(5.13)

Заметим, что энергия 𝐸 здесь не равна 𝑝²/2𝑚, а является дополнительным аргументом (коэффициентом, на который умножается время), необходимым для определения ядра. Точное измерение величины 𝐸 для установления связи между энергией и импульсом можно сделать лишь в том случае, когда система бесконечно долго находится в состоянии с одной и той же энергией.

В качестве примера вычислим ядро для случая свободной частицы. Необходимые интегралы по переменным 𝐑₁ и 𝐑₂ были уже найдены и определяются формулой (5.12). Нам остаётся выполнить интегрирование лишь по 𝑡₁ и 𝑡₂. Сделаем подстановку 𝑡₂=𝑡₁+τ. Тогда двойной интеграл можно записать как

_∞

∫

^-∞

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)(𝐸₂-𝐸₁)𝑡₁}

𝑑𝑡

₁

_∞

∫

⁰

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)(𝐸₂-𝑝²/2𝑚)τ}

𝑑τ

.

(5.14)

Первый из этих двух интегралов является интегральным представлением δ-функции Дирака и равен 2πℏδ(𝐸₂-𝐸₁). Второй интеграл имеет вид

_∞

∫

⁰

𝑒

^𝑖ωτ

𝑑𝑡

.

(5.15)

Такие интегралы часто встречаются в квантовомеханических задачах; при действительном ω они расходятся. Поэтому для того, чтобы мы могли выполнить наш расчёт, заменим ω комплексным числом ω+𝑖ε. Когда обе величины ω и ε — действительные числа, интеграл равен 𝑖/(ω+𝑖ε).

Теперь можно было бы просто перейти к пределу этого выражения при ε, стремящемся к нулю, и принять за результат 𝑖/ω. Однако такой подход привёл бы нас к неправильным (или, точнее, к неполным) результатам в дальнейшем. Функция, которую мы вычисляем,— это ядро, и в дальнейшем её следует- проинтегрировать (после умножения на некоторую другую функцию) по всем значениям ω или по всем значениям другой некоторой эквивалентной величины. Если в нашем выражении опустить ε, то рассматриваемый интеграл имел бы полюс при значении ω=0.