Квантовая механика и интегралы по траекториям

Если, с другой стороны, предположить, что длины волн различаются на некоторую новую функцию 𝑓'(𝑦) как показано на фиг. б, то после перемножения вклады в интеграл от различных значений 𝑦 будут взаимно уничтожаться. Вероятность того, что импульс равен 𝑚𝑥/𝑇, в этом случае мала.

Если выбрать, как это показано на фиг. в, другое конечное положение 𝑥' то в область (-𝑏,𝑏) попадёт совсем другая часть кривой 𝐾. При подходящем выборе 𝑥' длина волны, соответствующая этой части кривой 𝐾 совпадает с длиной волны для функции 𝑓'(𝑦) и величина вероятности в этом случае снова возрастает. Другими словами, частицы с большой вероятностью будут иметь новое значение импульса 𝑝=𝑚𝑥'/𝑇.

Выражение для амплитуды в импульсном пространстве (5.5) относится к одномерному случаю. Его легко обобщить на трёхмерный случай, когда амплитуда вероятности записывается в виде

φ(𝐩)

=

_𝐫

∫

 

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

-

𝑖

ℏ

(𝐩⋅𝐫)

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝑓(𝐫)𝑑³𝐫

.

(5.6)

Здесь уже предполагается, что волновая функция 𝑓(𝐫) определена во всех точках трёхмерного координатного пространства. Амплитуда φ(𝐩) представляет собой амплитуду вероятности того, что частица имеет импульс 𝐩 в момент времени 𝑡=0. (Заметим, что эта амплитуда не определена для момента времени 𝑡=𝑇.) Временной интервал 𝑇 обусловливается самим измерительным прибором, и его можно варьировать, не изменяя при этом величины амплитуды в импульсном пространстве. Квадрат модуля этой амплитуды, умноженный на элемент объёма пространства импульсов, даёт вероятность нахождения импульса в трёхмерном интервале импульсного пространства 𝑑³𝐩/(2πℏ)³.

Мы проанализировали возможность измерения импульса на основе измерения времени пролёта. Такой же анализ можно было бы провести и для других методов. Рассмотрение любого метода измерения импульса должно привести нас к одному и тому же результату для амплитуды вероятности в пространстве импульсов. Предположим, что у нас есть два прибора, предназначенные для измерения одной и той же величины — импульса. Если они дают разные результаты, то мы должны объяснить это неисправностью одного из приборов. Таким образом, если согласиться, что измерение времени пролёта является приемлемым методом определения импульса, то любой прибор, измеряющий импульс, должен давать для распределения импульса 𝑃(𝑝)𝑑𝑝 тот же самый результат при условии, что система находится в одном и том же состоянии 𝑓(𝑦). Анализ любого приспособления, измеряющего импульс, должен давать для амплитуды вероятности, определяющей импульс 𝑝, одно и то же выражение φ(𝑝) с точностью до несущественной фазовой постоянной (т.е. с точностью до множителя 𝑒^𝑖δ, где δ = const). Возьмём, например, следующую задачу.

Задача 5.1. Рассмотрите какой-нибудь прибор, предназначенный для измерения импульса в классическом приближении, такой, например, как масс-спектрограф. Проанализируйте этот прибор, пользуясь методом, которому мы следовали в гл. 4. Покажите, что для амплитуды в пространстве импульсов получается тот же результат.

Переход к импульсному представлению. Мы называли ψ(𝐑,𝑡) амплитудой вероятности того, что частица находится в точке 𝐑 в момент времени 𝑡. Выше показано, что соответствующая амплитуда в пространстве импульсов имеет вид

φ(𝐩,𝑡)

=

_𝐑

∫

 

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

-

𝑖

ℏ

(𝐩⋅𝐑)

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

ψ(𝐑,𝑡)

𝑑³𝐑

.

(5.7)

Будем называть её амплитудой вероятности того, что частица имеет импульс 𝐩 в момент времени 𝑡. Часто оказывается более удобным рассматривать задачи не в координатном представлении, а в импульсном, или, как говорят, в пространстве импульсов, а не координат. Фактически переход от одного представления к другому есть не что иное, как преобразование Фурье. Таким образом, если мы имеем импульсное представление и хотим перейти снова к координатному, то пользуемся обратным преобразованием

ψ(𝐑,𝑡)

=

_𝐩

∫

 

⎡

⎢

⎣

exp

𝑖

ℏ

(𝐩⋅𝐑)

⎤

⎥

⎦

φ(𝐩,𝑡)

𝑑³𝐩

(2πℏ)³

.

(5.8)

Эту формулу можно истолковать на языке тех же физических понятий, которые мы уже использовали для описания структуры других амплитуд. Амплитуда вероятности того, что частица находится в точке 𝐑, представляется в виде суммы по всем возможным альтернативам. В данном случае эти альтернативы соответствуют произведению двух членов. Один из них — амплитуда вероятности того, что импульс частицы равен 𝐩, т.е. амплитуда ψ(𝐩). Другой — экспонента exp(𝑖𝐩⋅𝐑/ℏ) представляет собой амплитуду вероятности того, что если импульс равен 𝐩, то частица находится в точке 𝐑. Этот второй множитель не является для нас новым, так как мы уже обсуждали подобное выражение в задаче 4 гл. 3.

Заметим, что в преобразовании (5.7) показатель у экспоненты отрицательный. Это обстоятельство можно истолковать таким же образом, как это делалось в § 3 гл. 4.

Следовательно, exp(-𝑖𝐩⋅𝐑/ℏ) представляет собой амплитуду вероятности того, что если частица находится в точке 𝐑, то её импульс равен 𝐩.