Квантовая механика и интегралы по траекториям

где 𝑟_𝑎=|𝐑_𝑎-𝐫| и 𝑟_𝑏=|𝐑_𝑏-𝐫| (см. приложение). Для этих величин мы можем написать

𝑟

_𝑎

=𝑅

_𝑎

⎧

⎪

⎩

1-

2𝑅_𝑎⋅𝐫

𝑅²_𝑎

+

𝑟²

𝑅²_𝑎

⎫½

⎪

⎭

≈

𝑅

_𝑎

+𝐢

_𝑎

⋅𝐫,

(6.30)

𝑟

_𝑏

=𝑅

_𝑏

⎧

⎪

⎩

1-

2𝑅_𝑏⋅𝐫

𝑅²_𝑏

+

𝑟²

𝑅²_𝑏

⎫½

⎪

⎭

≈

𝑅

_𝑏

-𝐢

_𝑏

⋅𝐫,

(6.31)

где 𝐢_𝑎 и 𝐢_𝑏 — единичные векторы соответственно в направлениях векторов 𝐑_𝑎 и 𝐑_𝑏 (т.е. 𝐢_𝑎=-𝐑_𝑎/𝑅_𝑎, где 𝑅_𝑎=|𝐑_𝑎|). При выводе приближённых соотношений (6.30) и (6.31) мы воспользовались тем фактом, что величина 𝑅_𝑎 намного больше тех расстояний |𝐫|, на которых нельзя пренебрегать потенциалом 𝑉(𝑟).

Члены первого порядка по 𝑟 необходимо удержать лишь в экспоненциальном множителе, поскольку этот множитель особенно чувствителен к малым изменениям фазы. Поэтому мы запишем

(𝑟

_𝑎

+𝑟

_𝑏

)²

≈

(𝑅

_𝑎

+𝑅

_𝑏

)²

+

2(𝑅

_𝑎

+𝑅

_𝑏

)

(𝐢

_𝑎

⋅𝐫)

-

(𝐢

_𝑏

⋅𝐫)

.

(6.32)

Используя эти приближения, ядро 𝐾⁽¹⁾(𝑏,𝑎) можно теперь представить в виде

𝐾

⁽¹⁾

(𝑏,𝑎)

≈

-

𝑖

ℏ

⎧

⎪

⎩

𝑚

2π𝑖ℏ𝑇

⎫5/2

⎪

⎭

𝑇

⎧

⎪

⎩

1

𝑅_𝑎

+

1

𝑅_𝑏

⎫

⎪

⎭

×

×

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚

2ℏ𝑇

(𝑅

_𝑎

+𝑅

_𝑏

)²

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

×

×

_𝑟

∫

 

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚

ℏ𝑇

(𝑅

_𝑎

+𝑅

_𝑏

)

(𝐢

_𝑎

⋅𝐫)

-

(𝐢

_𝑏

⋅𝐫)

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝑉(𝐫)

𝑑³𝐫

.

(6.33)

Физическая интерпретация. Из анализа соотношения (6.33) мы можем получить некоторые физические характеристики движения. За промежуток времени 𝑇 электрон проходит полное расстояние, равное 𝑅_𝑎+𝑅_𝑏. Следовательно, его скорость в течение этого промежутка времени составляет 𝑢=(𝑅_𝑎+𝑅_𝑏)/𝑇, его энергия равна 𝑚𝑢²/2, а импульс равен 𝑚𝑢. При этом мы предполагаем, что энергия электрона не изменяется в процессе рассеяния. То, что эти значения скорости, энергии и импульса совместимы друг с другом, можно проверить, рассмотрев вид экспоненциального множителя перед интегралом в формуле (6.33). Фаза этого экспоненциального фактора равна 𝑖𝑚[(𝑅_𝑎+𝑅_𝑏)²/2ℏ𝑇], поэтому частота, определяемая производной этой фазы по переменной 𝑇, составляет

ω=

𝑚

2ℏ

(𝑅_𝑎+𝑅_𝑏)²

𝑇²

.

(6.34)

Если скорость 𝑢 определена так, как это сделано выше, то энергия будет равна 𝑚𝑢²/2 [ср. соотношение (3.15)].

Дифференцирование фазы по переменной 𝑅_𝑎 даёт волновое число в точке 𝑎

𝑘

=

𝑚

ℏ

𝑅_𝑎+𝑅_𝑏

𝑇

(6.35)

а это значит, что величина импульса равна 𝑚𝑢 [ср. соотношение (3.12)].

Задача 6.5. Интеграл по переменной 𝑡 в формуле (6.28) можно аппроксимировать, используя метод стационарной фазы. Рассмотрите этот метод на примере данного интеграла; покажите, что наибольший вклад в интеграл дают значения 𝑡 из области, близкой к точке 𝑡=𝑅_𝑎/𝑢 и представляющей собой время, за которое электрон должен был бы достигнуть центра атома, если бы он двигался по классическим законам.

Используя определение скорости электрона 𝑢=(𝑅_𝑎+𝑅_𝑏)/𝑇, запишем вектор импульса входящей частицы 𝐩_𝑎 в виде

𝐩

_𝑎

=

𝑚𝑢

𝐢

_𝑎

,

(6.36)

а вектор импульса выходящей частицы 𝐩_𝑏 — как

𝐩

_𝑏

=

𝑚𝑢

𝐢

_𝑏

.

(6.37)

Тогда соотношение (6.33) можно представить в виде

𝐾

⁽¹⁾

(𝑏,𝑎)

=

-

𝑖

ℏ

⎧

⎪

⎩

𝑚

2π𝑖ℏ

⎫5/2

⎪

⎭

𝑢

𝑇^½𝑅_𝑎𝑅_𝑏

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖𝑚

2ℏ

𝑢²𝑇

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

×

×

_𝑟

∫

 

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

(𝐩

_𝑎

-𝐩

_𝑏

)⋅𝐫

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝑉(𝐫)

𝑑³𝐫

.

(6.38)

Обозначим далее изменение (или передачу) импульса через

𝐪

=

(𝐩

_𝑎

-𝐩

_𝑏

)

и введём величину

𝑣(𝐪)

=

_𝑟

∫

 

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐪⋅𝐩}

𝑉(𝐫)

𝑑³𝐫

.

(6.39)

Вероятность того, что электрон достигнет точки 𝑎, даётся квадратом модуля ядра 𝐾_𝑉(𝑏,𝑎) и, следовательно, будет зависеть в основном от первого члена разложения этого ядра, т.е. от величины 𝐾₍₀₎(𝑏,𝑎), которая, по-видимому, настолько велика, что полностью перекрывает малый возмущающий член 𝐾⁽¹⁾(𝑏,𝑎).

Поэтому в большинстве экспериментов по рассеянию обычно коллимируют входящий пучок соответствующими экранами, с тем чтобы те электроны, которые не рассеиваются на атомах мишени, не выходили бы за пределы ограниченной области вдоль некоторого направления, как это показано на фиг. 6.6. Конечно на таких коллимирующих экранах будет происходить дифракция (как это уже обсуждалось нами в гл. 3, § 2 и 3), и вне области центрального пучка будет наблюдаться некоторое число нерассеянных электронов. Однако коллиматоры можно установить таким образом, чтобы для точек, достаточно удалённых от оси коллимации, число дифрагировавших на коллиматоре электронов было бы очень мало по сравнению с числом электронов, рассеянных на атомах мишени.

Фиг. 6.6. Принципиальная схема фокусировки для исключения влияния члена нулевого порядка в точке 𝑏.

В этом случае из точки 𝑎 в точку 𝑏 с заметной вероятностью могут прийти лишь те электроны, которые испытывают хотя бы одно рассеяние. Поэтому член нулевого порядка в разложении 𝐾_𝑉(𝑏,𝑎) в ряд теории возмущений будет вносить лишь пренебрежимо малый вклад и его можно отбросить. Вклад возникает за счёт члена первого порядка 𝐾⁽¹⁾(𝑏,𝑎).

Тогда вероятность обнаружения электрона в такой области, по крайней мере в первом порядке теории возмущений, определяется только квадратом модуля ядра 𝐾⁽¹⁾(𝑏,𝑎). Используя соотношения (6.38) и (6.39), запишем эту вероятность как

𝑃(𝑏)

ед. объёма

=

1

ℏ²

⎧

⎪

⎩

𝑚

2π𝑖ℏ

⎫5

⎪

⎭

𝑢²

𝑇𝑅²_𝑎𝑅²_𝑏

|𝑣(𝐪)|²

.

(6.40)