Квантовая механика и интегралы по траекториям

Характерные особенности атомного потенциала и зависимость ядра от относительных направлений векторов 𝑅_𝑎 и 𝑅_𝑎 заключены в этой формуле в множителе 𝑣(𝐪). Этот множитель совершенно не зависит от размеров экспериментального устройства; их влияние учитывается остальной частью формулы (6.40). Например, множитель 1/𝑅²_𝑎, как легко видеть, обусловлен тем, что вероятность столкновения электрона с атомом убывает обратно пропорционально 𝑅²_𝑎. Может показаться, что в применении к рассматриваемому эксперименту это утверждение спорно из-за наличия коллиматоров. Однако эффект коллимации пренебрежимо мал на расстояниях порядка атомных размеров; по отношению к атому-мишени пучок налетающих электронов состоит из частиц, изотропно испускаемых некоторым точечным источником. Точно так же изотропно по всем направлениям от рассеивающего атома разлетаются и рассеянные электроны. Поэтому отнесённая к единице объёма вероятность регистрации электрона в точке 𝑏 изменяется обратно пропорционально 𝑅²_𝑏. Поскольку наиболее интересные свойства рассматриваемого эксперимента связаны с функцией 𝑣(𝐪) мы уделим этой функции особое внимание в следующем параграфе.

Фиг. 6.7. Сравнение точек 𝑏 и 𝑑.

Если точки 𝑏 и 𝑑 находятся на одинаковых расстояниях от точки 𝑂, равных 𝑅_𝑏 то различие в числе электронов, попадающих в эти точки, будет обусловленно лишь процессом рассеяния. Точка 𝑑 лежит на пути движения нерассеявшихся электронов. Отношение числа электронов, попавших в точку 𝑏, к числу электронов, которые достигли бы точки 𝑑 если бы на их пути не было рассеивающего центра, равно вероятности рассеяния в точку 𝑏.

Часть сомножителей в формуле (6.40) определяется выбором способа нормировки нашего ядра. Поэтому формулу (6.40) более удобно рассматривать и представлять в виде некоторого отношения вероятностей. Сравним вероятность обнаружения рассеянной частицы в точке 𝑏 с вероятностью её обнаружения в точке 𝑑, если точки 𝑏 и 𝑑 расположены за атомом на одинаковом расстоянии 𝑅_𝑎+𝑅_𝑏 от источника (фиг. 6.7). Другими словами, рассчитаем отнесённую к единице объёма вероятность 𝑃(𝑑) так, как если бы на пути частицы не было ни одного атома. Это даст нам величину |𝐾₍₀₎(𝑑,𝑎)|², т.е.

𝑃(𝑑)

ед. объёма

=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2πℏ

⎫3

⎪

⎭

𝑢²

𝑇(𝑅_𝑎+𝑅_𝑏)²

,

(6.41)

так что

𝑃(𝑏)

𝑃(𝑑)

=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2πℏ²

⎫2

⎪

⎭

|𝑣(𝐪)|²

(𝑅_𝑎+𝑅_𝑏)²

𝑅²_𝑎+𝑅²_𝑏

.

(6.42)

В § 5 мы дадим геометрическую интерпретацию этого отношения и более детально рассмотрим функцию 𝑉(𝐪).

Эффективное сечение рассеяния. Характеристики атома в экспериментах с рассеянием удобно описывать с помощью понятия эффективного сечения рассеяния ¹). Привлекательность такого подхода обусловлена нашей привычкой к представлениям классической физики. Эффективное сечение а определяется как та эффективная площадь атома-мишени (в классическом смысле этого слова), которую должен иметь перед собой электрон, чтобы рассеяться в единичный телесный угол. Этот телесный угол измеряется относительно сферы, центр которой совпадает с центром атома. Эффективное сечение будет поэтому функцией угла рассеяния, т.е. функцией угла между векторами 𝐑_𝑎 и 𝐑_𝑏. С помощью такой классической модели мы можем выразить вероятность попадания электрона в заданную точку 𝑏.

¹) В литературе вместо термина «эффективное сечение» часто используются также термины «поперечное сечение» или «эффективное поперечное сечение». Все эти термины совершенно эквивалентны.— Прим. ред.

Фиг. 6.8. Частицы бомбардируют площадку 𝑑σ мишени и отклоняются на угол θ, попадая на площадку, измеряемую телесным углом 𝑑Ω.

Если бы не произошло ни одного соударения, все частицы попали бы в точку 𝑑. Вместо этого они попадают в точку 𝑏, разбрасываясь по площади 𝑅²_𝑏𝑑Ω. Вероятность обнаружить частицу в точке 𝑑 обратно пропорциональна площади, по которой распределится пучок в точке 𝑑.

Аналогично вероятность обнаружения частицы в точке 𝑏 обратно пропорциональна площади 𝑅²_𝑏𝑑Ω, по которой распределится пучок рассеявшихся частиц, когда они долетят до точки 𝑏. Если взять отношение этих площадей, то получим обратную величину отношения соответствующих вероятностей. С этой точки зрения мы говорим, что все частицы, которые попадают на мишень площадью 𝑑σ рассеиваются на угол θ. В действительности, конечно, только немногие из частиц, попадающих на мишень, вообще рассеиваются и только часть из них — на угол θ. Итак, элемент площади 𝑑σ, который мы использовали в наших расчётах, есть аффективное поперечное сечение рассеяния на угол θ, отнесённое к единице телесного угла 𝑑Ω, в которой рассеиваются частицы.