Квантовая механика и интегралы по траекториям

В атоме потенциал изменяется по кулоновскому закону лишь при очень малых радиусах. С увеличением радиуса атомные электроны начинают постепенно экранировать (компенсировать) электрический заряд ядра до тех пор, пока при достаточно больших значениях 𝑟 потенциал не обратится в нуль. В очень грубом приближении эффект экранировки атомными электронами можно оценить с помощью формулы

𝑉(𝑟)

=

𝑍𝑑²

𝑟

𝑑

^(𝑟/𝑎)

.

(6.51)

Через 𝑎 в этой формуле обозначен радиус атома. Заметим, что это не тот внешний радиус атома, которым пользуются химики; здесь 𝑎=𝑎₀/𝑍^1/3, где 𝑎₀=ℏ²/𝑚𝑑²=0,528Å.

Задача 6.8. Покажите, что для потенциала (6.51)

𝑣(𝐪)

=

4π𝑍𝑒²ℏ²

𝑞²+(ℏ/𝑎)²

(6.52)

и, следовательно,

σ=𝑍

²

𝑒

⁴

⎧

⎨

⎩

𝑚𝑢²

2

⎡

⎢

⎣

4

⎧

⎪

⎩

sin

θ

2

⎫²

⎪

⎭

+

ℏ²

(𝑝𝑎)²

⎤

⎥

⎦

⎫-2

⎬

⎭

.

(6.53)

Полное эффективное сечение σ_𝑇 определится как интеграл от сечения σ по поверхности единичной сферы, т.е.

σ

_𝑇

=

4π

∫

⁰

σ𝑑

Ω

.

(6.54)

Покажите, что это сечение имеет вид

σ

_𝑇

=

π𝑎²

𝑍

²

𝑒

⁴

1

(2𝑢ℏ)

²

1+

ℏ²

(2𝑝𝑎)²

(6.55)

Задача 6.9. Пусть мы хотим учесть тот факт, что атомное ядро имеет конечный радиус

𝑟

=

1,2⋅10

^-13

×(массовое число)

^1/3

см

(6.56)

в предположении, что заряд ядра распределён приблизительно равномерно внутри сферы такого радиуса. Спрашивается, как это предположение повлияет на эффективное сечение рассеяния электронов на атоме в области больших передач импульса 𝑞?

Покажите, каким образом отсюда может быть определён радиус ядра. Насколько велика должна быть величина импульса налетающих электронов 𝑝, чтобы стало заметным влияние структуры атомного ядра? Какие углы, большие или малые, следует при этом измерять более точно и почему?

Замечание. В эксперименте такого рода требуются настолько большие импульсы электронов, что для нахождения энергии фактически нужно пользоваться релятивистской формулой 𝐸=(𝑚²𝑐⁴+𝑐²𝑝²)^½-𝑚𝑐², поэтому, строго говоря, для описания взаимодействия мы уже не имеем права применять нерелятивистские формулы. Однако соотношение между импульсом и длиной волны и между энергией и частотой не изменяются при переходе в релятивистскую область. Поскольку это именно та длина волны, которая определяет разрешающую силу такого «электронного микроскопа», то использование (без конкретного вычисления импульса) нерелятивистских формул является вполне законным.

Задача 6.10. Рассмотрим двухатомную молекулу, состоящую из атомов 𝐴 и 𝐵, центры которых задаются векторами 𝑎 и 𝑏. Используя борновское приближение, покажите, что амплитуда рассеяния электрона на такой молекуле

𝐾

⁽¹⁾

=

𝑒

^{(𝑖/ℏ)(𝐪⋅𝐚)}

𝑓

_𝐴

(𝐪)

+

𝑒

^{(𝑖/ℏ)(𝐪⋅𝐛)}

𝑓

_𝐵

(𝐪)

,

(6.57)

где 𝑓_𝐴 и 𝑓_𝐵 — амплитуды рассеяния электрона на отдельных атомах при допущении, что каждый из этих атомов располагался бы в начале системы координат. Межатомные связи слабо влияют на распределение заряда вокруг ядер (за исключением очень лёгких атомов, таких, как водород), так как силы этих связей действуют лишь на самые внешние электроны атомных оболочек.

Используя соотношение (6.57), покажите, что вероятность рассеяния при заданном значении передаваемого импульса 𝑝 пропорциональна сумме 𝑓²_𝐴 + 𝑓²_𝐵 + 2𝑓_𝐴𝑓_𝐴cos(𝐪⋅𝐝), где 𝐝=𝐚-𝐛.

Вычисленные в борновском приближении амплитуды 𝑓 являются действительными величинами и применимы для тех энергий электронов (порядка 1 кэв), которые обычно используются в дифракционных опытах с молекулами. Однако если молекула состоит из очень тяжёлых атомов, таких, как уран, то атомный потенциал 𝑉 становится настолько большим, что борновское приближение оказывается уже недостаточно точным для описания экспериментов. В этом случае необходимо внести небольшие поправки.

Задача 6.11. Предположим, что молекулы ориентированы совершенно случайным образом. Покажите, что эффективное сечение рассеяния электронов, усреднённое по совокупности таких молекул, пропорционально сумме 𝑓²_𝐴 + 𝑓²_𝐵 + 2𝑓_𝐴𝑓_𝐴 [sin (𝐪×𝐝)/(𝐪⋅𝐝)]. Как обобщить этот результат на случай многоатомных молекул?

Все эти результаты лежат в основе электронной дифракционной техники, позволяющей определять форму различных молекул.

Задача 6.12. В предположении о независимости потенциала 𝑉(𝑟) от времени покажите, что интегрирование по времени в выражении для ядра , описывающем рассеяние во втором порядке теории возмущений, приводит к формуле

𝐾

⁽²⁾

(𝑏,𝑎)

=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2πℏ²

⎫2

⎪

⎭

⎧

⎪

⎩

𝑚

2π𝑖ℏ𝑇

⎫3/2

⎪

⎭

_𝐫𝑐

∫

 

_𝐫𝑑

∫

 

𝑟_𝑐𝑑+𝑟_𝑎𝑐+𝑟_𝑑𝑏

𝑟_𝑐𝑑𝑟_𝑎𝑐𝑟_𝑑𝑏

×

×

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖𝑚

2ℏ𝑇

⎫

⎪

⎭

(𝑟

_𝑐𝑑

+𝑟

_𝑎𝑐

+𝑟

_𝑑𝑏

)²

⎤

⎥

⎦

𝑉(𝐫

_𝑐

)

𝑉(𝐫

_𝑑

)

𝑑³𝐫

_𝑐

𝑑³𝐫

_𝑑

,

(6.58)

где точки 𝑎, 𝑏, 𝑐 и 𝑑 расположены так, как это показано на фиг. 6.9; величина 𝑟_𝑐𝑑 равна расстоянию между точками 𝑐 и 𝑑 и т. д. Полагая, что потенциал 𝑉(𝐫) становится пренебрежимо малым на расстояниях, небольших по сравнению с 𝑅_𝑎, и 𝑅_𝑏, покажите, что эффективное сечение даётся формулой σ=|𝑓|², где 𝑓 — амплитуда рассеяния, содержащая лишь члены первого приближения:

𝑓

=

𝑚

2πℏ²

_𝐫

∫

 

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐩_𝑏⋅𝐫}

𝑉(𝐫)

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐩_𝑎⋅𝐫}

𝑑³𝐫

+

+

⎧

⎪

⎩

𝑚

2πℏ²

⎫²

⎪

⎭

_𝐫𝑐

∫

 

_𝐫𝑑

∫

 

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐩_𝑏⋅𝐫_𝑑}

𝑉(𝐫

_𝑑

)

⎧

⎪

⎩

1

𝑟_𝑐𝑑

⎫

⎪

⎭

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑝𝑟_𝑐𝑑}

×

×

𝑉(𝐫

_𝑐

)

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐩_𝑎⋅𝐫_𝑐}

𝑑³𝐫

_𝑐

𝑑³𝐫

_𝑑

+члены более высокого порядка.

(6.59)