Квантовая механика и интегралы по траекториям

Пучок электронов можно представить в виде эквивалентной ему плоской волны, движущейся по направлению к атомному ядру, расположенному в точке 𝑅=𝑂. Правее этой точки большая часть пучка будет по-прежнему двигаться как невозмущённая плоская волна с импульсом 𝑝_𝑎 Меньшая часть пучка рассеивается на ядре и расходится от точки 𝑂 в виде сферической волны. Поэтому суммарная интенсивность (т.е. число электронов) в некоторой точке 𝑏, определяемой радиусом-вектором 𝐑_𝑏, состоит из двух частей. Одна из них представляет собой нерассеянный пучок, описываемый плоской волной exp (𝑖𝐩_𝑎⋅𝐑_𝑏/ℏ). Вторая — это рассеянная сферическая волна (1/𝑅_𝑏) exp (𝑖𝑝𝑅_𝑏/ℏ) с зависящей от углов амплитудой 𝑓. Комбинация этих двух волн определяет пространственную часть волновой функции пучка электронов после рассеяния.

Задача 6.14. С помощью метода, основанного на использовании волновых функций, рассмотрите рассеяние электрона на синусоидально осциллирующем поле, потенциал которого имеет вид

𝑉(𝑟𝑡)

=

𝑈(𝑟) const ω𝑡

.

(6.65)

Покажите, что в первом борновском приближении энергия расходящейся волны изменяется на величину, равную ±ω. Что дадут члены высших порядков?

§ 5. Возмущения, зависящие от времени, и амплитуды переходов

Амплитуда перехода. Теория возмущений оказывается особенно полезной, когда потенциал 𝑈, соответствующий невозмущённой задаче, не зависит от времени. Из соотношения (4.59) видно, что ядро в этом случае может быть разложено в ряд по собственным функциям φ_𝑛 и собственным значениям невозмущённой задачи

𝐾

_𝑈

(2,1)

=

 

∑

^𝑛

φ

_𝑛

(𝑥

₂

)φ

_*

^𝑛

(𝑥

₁

)

𝑒

^{(𝑖𝐸_𝑛/ℏ)(𝑡₂-𝑡₁)}

для 𝑡

₂

>𝑡

₁

(6.66)

(для простоты ограничимся случаем одномерного движения).

Рассмотрим теперь полученные ранее разложения ядра 𝐾_𝑉(2,1), подставив в них выражение для 𝐾_𝑈. Если выписать только два первых члена, то

𝐾

_𝑉

(2,1)

=

 

∑

^𝑛

φ

_𝑛

(𝑥

₂

)φ

_*

^𝑛

(𝑥

₁

)

𝑒

^{-(𝑖𝐸_𝑛/ℏ)(𝑡₂-𝑡₁)}

-

-

𝑖

ℏ

 

∑

^𝑛

 

∑

^𝑚

∫

φ

_𝑚

(𝑥

₂

)φ

_*

^𝑚

(𝑥

₃

)

𝑉(𝑥

₃

,𝑡

₃

)

𝑒

^{-(𝑖𝐸_𝑛/ℏ)(𝑡₂-𝑡₃)}

φ

_𝑛

(𝑥

₃

)

×

×

φ

_*

^𝑛

(𝑥

₁

)

𝑒

^{-(𝑖𝐸_𝑛/ℏ)(𝑡₃-𝑡₁)}

𝑑𝑥

₃

𝑑𝑡

₃

+… .

(6.67)

Ясно, что в каждом члене разложения переменная 𝑥₁ входит лишь через волновую функцию φ^*_𝑚(𝑥₁); аналогичным образом входит и переменная 𝑥₂, поэтому ядро 𝐾_𝑉 мы всегда можем записать в виде

𝐾

_𝑉

(2,1)

=

 

∑

^𝑛

 

∑

^𝑚

λ

_𝑚𝑛

(𝑡

₂

,𝑡

₁

)

φ

_𝑚

(𝑥

₂

)

φ

_*

^𝑛

(𝑥

₁

)

,

(6.68)

где λ — коэффициенты, зависящие от 𝑡₂ и 𝑡₁. Будем называть эти коэффициенты амплитудами перехода. В нулевом порядке по 𝑉 ядро (6.68) должно совпадать с ядром 𝐾_𝑈, так что в этом порядке λ_𝑚𝑛=δ_𝑚𝑛 exp [-(𝑖𝐸_𝑛/ℏ)(𝑡₂-𝑡₁)]. Если коэффициенты λ разложить в ряд по возрастающим степеням потенциала 𝑉, то получим

λ

_𝑚𝑛

=

δ

_𝑚𝑛

𝑒

^{-(𝑖𝐸_𝑛/ℏ)(𝑡₂-𝑡₁)}

+λ

₍₁₎

^𝑚𝑛

+λ

₍₂₎

^𝑚𝑛

+… .

(6.69)

Сравнивая это выражение с формулой (6.67), получаем далее

λ

₍₁₎

^𝑚𝑛

=-

𝑖

ℏ

_∞

∫

^-∞

_𝑡2

∫

^𝑡₁

φ

_*

^𝑚

(𝑥

₃

)

𝑉(𝑥

₃

,𝑡

₃

)

φ

_𝑛

(𝑥

₃

)

×

×

𝑑𝑥

₃

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖

ℏ

[𝐸

_𝑚

(𝑡

₃

-𝑡

₂

)

-𝐸

_𝑛

(𝑡

₃

-𝑡

₁

)]

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑡

₃

.

(6.70)

Задача 6.15. В задаче 5.4 мы определили некий интеграл как амплитуду перехода из состояния ψ(𝑥) в состояние χ(𝑥). Покажите, что функция λ_𝑚𝑛 удовлетворяет этому определению, если начальное состояние описывается собственной функцией φ_𝑛(𝑥), а конечное состояние — собственной функцией φ_𝑚(𝑥).

Обозначим для краткости

𝑉

_𝑚𝑛

(𝑡

₃

)

=

_∞

∫

^-∞

φ

_*

^𝑚

(𝑥

₃

)

𝑉(𝑥

₃

,𝑡

₃

)

φ

_𝑛

(𝑥

₃

)

𝑑𝑥

₃

(6.71)

(эта величина иногда называется матричным элементом потенциала 𝑉, взятым между состояниями 𝑛 и 𝑚). Тогда формулу (6.70) можно записать в виде

λ

₍₁₎

^𝑚𝑛

=-

𝑖

ℏ

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐸_𝑚𝑡₂}

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐸_𝑛𝑡₁}

_𝑡2

∫

^𝑡₁

𝑉

_𝑚𝑛

(𝑡

₃

)

𝑒

^{(𝑖/ℏ)(𝐸_𝑚-𝐸_𝑛)𝑡₃}

𝑑𝑡

₃

.

(6.72)

Мы получили важный результат нестационарной теории возмущений. Коэффициент λ_𝑚𝑛 представляет собой амплитуду вероятности того, что в момент времени 𝑡₂ система будет обнаружена в состоянии 𝑚, если первоначально она находилась в состоянии 𝑛.

Предположим, что волновая функция в момент времени 𝑡₁ была равна φ_𝑛(𝑥₁). Спрашивается, какой она станет в момент времени 𝑡₂? Используя соотношение (3.42), можно представить эту функцию в момент времени 𝑡₂ как

_∞

∫

^-∞

𝐾

_𝑉

(2,1)

φ

_𝑛

(𝑥

₁

)

𝑑𝑡

₁

=

=

 

∑

^𝑘

 

∑

^𝑙

λ

_𝑘𝑙

φ

_𝑘

(𝑥

₂

)

_∞

∫

^-∞

φ

_*

^𝑙

(𝑥

₁

)

φ

_𝑛

(𝑥

₁

)

𝑑𝑡

₁

=

 

∑

^𝑘

λ

_𝑘𝑛

φ

_𝑘

(𝑥

₂

)

.

(6.73)

Это означает, что волновая функция в момент времени 𝑡₂ имеет вид

 

∑

^𝑚

𝐶

_𝑚

φ

_𝑚

(𝑥

₂

)

.

Такое разложение по собственным функциям впервые применялось в формуле (4.48). Теперь можно придать более глубокий смысл постоянным 𝐶_𝑚, а именно интерпретировать их как амплитуды вероятности обнаружения системы в состояниях φ_𝑚. В этом частном случае 𝐶_𝑚 равно λ_𝑚𝑛 и представляет собой амплитуду вероятности того, что в момент времени 𝑡₂ система будет находиться в состоянии φ_𝑚, если в момент времени 𝑡₁ она была в состоянии φ_𝑛.