Квантовая механика и интегралы по траекториям

Если система находится в состоянии 𝑛 и на неё не действует потенциал, то она будет всегда находиться в этом состоянии с амплитудой, которая изменяется со временем. Таким образом, в нулевом порядке λ_𝑚𝑛 = δ_𝑚𝑛 exp [-(𝑖𝐸_𝑛/ℏ)(𝑡₂-𝑡₁)]. Член первого порядка мы можем интерпретировать в соответствии со следующим правилом (фиг. 6.11): амплитуда вероятности рассеяния из состояния 𝑛 в состояние 𝑚 за промежуток времени 𝑑𝑡 равна -(𝑖/ℏ)𝑉_𝑚𝑛𝑑𝑡.

Фиг. 6.11. На систему, находящуюся вначале на 𝑛-м энергетическом уровне, действует потенциал 𝑉, который «рассеивает» систему во все возможные для неё состояния.

При этом амплитуда рассеяния в 𝑘-е состояние будет пропорциональна 𝑉_𝑘𝑛. В частности, амплитуда рассеяния из состояния 𝑛 в состояние 𝑚 за время 𝑑𝑡 равна -(𝑖/ℏ)𝑉_𝑚𝑛𝑑𝑡.

Задача 6.16. Интерпретируйте соотношение (6.71), рассмотрев его как сумму по всем альтернативам, т.е. укажите эти альтернативы.

Задача 6.17. Интерпретируйте формулу (6.72), объяснив значение каждого члена. После этого выведите и объясните смысл соответствующей формулы для коэффициента λ во втором порядке теории возмущений:

λ

₍₂₎

^𝑚𝑛

=-

1

ℏ²

_𝑡2

∫

^𝑡₁

⎧

⎨

⎩

_𝑡4

∫

^𝑡₁

 

∑

^𝑘

exp

⎡

⎢

⎣

-

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

⎫

⎪

⎭

𝐸

_𝑚

(𝑡

₂

-𝑡

₄

)

⎤

⎥

⎦

𝑉

_𝑚𝑘

(𝑡

₄

)

×

×

exp

⎡

⎢

⎣

-

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

⎫

⎪

⎭

𝐸

_𝑘

(𝑡

₄

-𝑡

₃

)

⎤

⎥

⎦

𝑉

_𝑘𝑛

(𝑡

₃

)

exp

⎡

⎢

⎣

-

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

⎫

⎪

⎭

𝐸

_𝑛

(𝑡

₃

-𝑡

₁

)

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑡

₃

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑡

₄

.

(6.74)

Задача 6.18. Получите и объясните интегральное уравнение

λ

_𝑚𝑛

(𝑡

₂

,𝑡

₁

)

=

δ

_𝑚𝑛

exp

⎡

⎢

⎣

-

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

⎫

⎪

⎭

𝐸

_𝑚

(𝑡

₂

-𝑡

₁

)

⎤

⎥

⎦

-

-

𝑖

ℏ

_𝑡2

∫

^𝑡₁

exp

⎡

⎢

⎣

-

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

⎫

⎪

⎭

𝐸

_𝑚

(𝑡

₂

-𝑡

₃

)

⎤

⎥

⎦

 

∑

^𝑘

𝑉

_𝑚𝑘

(𝑡

₃

)

λ

_𝑘𝑛

(𝑡

₃

,𝑡

₁

)

𝑑𝑡

₃

.

(6.75)

Задача 6.19. Будем считать, что коэффициент λ_𝑚𝑛(𝑡₂) является функцией конечного момента времени 𝑡₂. Покажите, используя уравнение (6.75) или ряд (6.69), что

𝑑

𝑑𝑡₂

λ

_𝑚𝑛

(𝑡

₂

)

=-

𝑖

ℏ

 

∑

^𝑘

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

(𝐸

_𝑚

-𝐸

_𝑛

)𝑡

₂

⎤

⎥

⎦

×

×

𝑉

_𝑚𝑘

(𝑡

₂

)

λ

_𝑘𝑛

(𝑡

₂

)

-

𝑖

ℏ

𝐸

_𝑚

λ

_𝑚𝑛

(𝑡

₂

)

.

(6.76)

Дайте физическую интерпретацию этого результата. Затем получите этот результат непосредственно из уравнения Шрёдингера.

Замечание. Для этого следует воспользоваться формулой (6.73), подставив её в уравнение Шрёдингера.

Отметим, что уравнение (6.76) вместе с начальным условием λ_𝑚𝑛(𝑡₁)=δ_𝑚𝑛 может быть использовано для непосредственного определения коэффициента λ.

Мы можем рассматривать все члены ряда (6.69) в соответствии с правилом, которое гласит: выражение -(𝑖/ℏ)𝑉_𝑚𝑛(𝑡)𝑑𝑡 является амплитудой рассеяния (или индуцированного перехода) из состояния 𝑛 в состояние 𝑚 в течение промежутка времени 𝑑𝑡, вызванного потенциалом 𝑉. Переход из состояния 𝑛 в состояние 𝑚 может произойти посредством 0, 1, 2, … и большего числа рассеяний. Прямой переход из одного состояния в другое без рассеяния может происходить только в случае, когда 𝑚=𝑛; именно поэтому первый член в разложении (6.69) пропорционален δ_𝑚𝑛.

Второй член, определяемый формулой (6.72), представляет собой амплитуду вероятности перехода, обусловленного единичным рассеянием. Амплитуда вероятности обнаружения частицы в момент времени 𝑡₃ в начальном состоянии 𝑛 равна exp [-𝑖𝐸_𝑛(𝑡₃-𝑡₁)/ℏ]. (В этом случае выражение «вероятность обнаружить частицу в состоянии 𝑛» следует понимать как «возможность рассеяния частицы из состояния 𝑛 под действием потенциала 𝑉».) Амплитуда рассеяния частицы потенциалом 𝑉 из состояния 𝑛 в состояние 𝑚 равна -(𝑖/ℏ)𝑉_𝑚𝑛. Наконец, амплитуда вероятности обнаружить частицу в момент времени 𝑡₃ в состоянии 𝑚 (что в данном случае эквивалентно амплитуде вероятности перехода частицы в состояние 𝑚 за время, в течение которого происходил процесс рассеяния) пропорциональна exp [-𝑖𝐸_𝑚(𝑡₂-𝑡₃)/ℏ]. Это рассеяние может иметь место в любой момент времени в интервале между 𝑡₁ и 𝑡₂, поэтому выполняется интегрирование по времени 𝑡₃ между этими двумя конечными точками.

Третий член формулы (6.74) является амплитудой перехода, происходящего вследствие двух актов рассеяния. Первое рассеяние переводит систему из начального состояния 𝑛 в промужуточное состояние 𝑘 в момент времени 𝑡₃. Далее, система остаётся в этом состоянии вплоть до момента времени 𝑡₄ т.е. до тех пор, пока её способность к рассеянию не будет снова определяться экспоненциальной функцией exp [-(𝑖/ℏ)𝐸_𝑘(𝑡₄-𝑡₃)]. Следующее рассеяние происходит в момент времени 𝑡₄ и переводит систему из состояния 𝑘 в состояние 𝑛. Мы интегрируем по всем возможным альтернативным временам рассеяния 𝑡₄ и 𝑡₃, требуя лишь, чтобы момент времени 𝑡₃ предшествовал моменту 𝑡₄. Далее мы суммируем по всем возможным промежуточным состояниям 𝑘, в которые может перейти наша система.

Члены ряда (6.69), для которых мы только что дали интерпретацию, представляют собой основной результат нестационарной теории возмущений. Этот результат применим в случае, когда невозмущённая система имеет постоянный гамильтониан и, следовательно, определённые значения энергии. Перейдём теперь к более подробному изучению некоторых частных случаев этой теории.