Квантовая механика и интегралы по траекториям

Такие системы колеблются, переходя из одного состояния в другое, и обратно. Отсюда можно вывести некоторые дополнительные следствия. Предположим, что взмущение действует чрезвычайно длительное время, так что 𝑉_𝑚𝑛𝑇/ℏ ≫ 1. Тогда, рассматривая систему в произвольный момент времени 𝑇 (который до некоторой степени является неопределённым), найдём, что вероятности обнаружить систему в первом или во втором состояниях в среднем равны друг другу. Другими словами, если на систему с двумя состояниями, энергии которых в точности равны друг другу, очень долгое время действует какое-то слабое возмущение, то оба эти состояния становятся равновероятными. Этот вывод окажется нам полезен, когда в гл. 10 мы будем рассматривать вопросы статистической механики.

Особенно важен случай, когда допустимые значения энергии конечного состояния 𝐸_𝑚 не являются дискретными, а лежат непрерывно или по крайней мере расположены чрезвычайно близко друг к другу. Пусть ρ(𝐸)𝑑𝐸 — число уровней или состояний в интервале энергий от 𝐸 до 𝐸+𝑑𝐸. Тогда можно поставить вопрос об определении вероятности перехода в некоторое состояние этого непрерывного спектра. Прежде всего мы видим, что весьма маловероятен переход в любое состояние, для которого разность энергий 𝐸_𝑛-𝐸_𝑚 велика; более вероятно, что конечное состояние будет одним из тех, которые расположены вблизи начальной энергии 𝐸_𝑛 (в пределах ±𝑉_𝑚𝑛). Полная вероятность перехода в некоторое состояние

_∞

∑

^𝑚=1

𝑃(𝑛→𝑚)

=

 

∑

^𝑚=1

|𝑉

_𝑚𝑛

|²

4 sin²[(𝐸_𝑚-𝐸_𝑛)𝑇/2ℏ]

(𝐸_𝑚-𝐸_𝑛)²

≈

≈

_𝐸𝑚

∫

 

|𝑉

_𝑚𝑛

|²

4 sin²[(𝐸_𝑚-𝐸_𝑛)𝑇/2ℏ]

(𝐸_𝑚-𝐸_𝑛)²

ρ(𝐸

_𝑚

)

𝑑𝐸

_𝑛

.

(6.83)

Величина {4 sin²[(𝐸_𝑚-𝐸_𝑛)𝑇/2ℏ]/(𝐸_𝑚-𝐸_𝑛)²} очень велика, если 𝐸_𝑚≈𝐸_𝑛 и имеет наибольшее значение, равное 𝑇²/ℏ². Эта величина значительно уменьшается, когда энергии 𝐸_𝑚 и 𝐸_𝑛 существенно различны (т.е. 𝐸_𝑚-𝐸_𝑛 ≥ ℏ/𝑇), как это показано на фиг. 6.13. Таким образом, интеграл по переменной 𝐸_𝑚 почти целиком определяется значениями 𝐸_𝑚, лежащими в окрестности точки 𝐸_𝑛.

Фиг. 6.13. Поведение подынтегральной функции.

Разность энергий 𝐸_𝑚-𝐸_𝑛 выражена переменной 𝑥. Когда обе эти энергии становятся приблизительно равными (другими словами, когда 𝑥 очень мало), функция sin²𝑥/𝑥² достигает своей максимальной величины. Для бо'льших значений разности энергий эта функция становится очень малой. Поэтому во всех выражениях, в которые входит эта функция, основная часть вклада привносится центральной областью, т.е. областью, где энергии 𝐸_𝑚 и 𝐸_𝑛 приблизительно равны друг другу.

Если матричный элемент 𝑉_𝑚𝑛 изменяется не очень быстро, так что мы можем заменить его некоторым средним значением, и если, кроме того, плотность уровней ρ(𝐸_𝑚) также изменяется медленно, то интеграл (6.83) можно достаточно точно представить выражением

4|𝑉

_𝑚𝑛

|²

ρ(𝐸

_𝑛

)

_𝐸𝑚

∫

 

sin²[(𝐸_𝑚-𝐸_𝑛)𝑇/2ℏ]

(𝐸_𝑚-𝐸_𝑛)²

𝑑𝐸

_𝑛

.

(6.84)

Так как

_∞

∫

^-∞

[(sin²𝑥)/𝑥²]𝑑𝑥

=π,

то интеграл (6.84) равен π𝑇/2ℏ и в результате получаем, что вероятность перехода в некоторое состояние непрерывного спектра выразится в виде

𝑃(𝑛→𝑚)

=

2π

|𝑉

_𝑚𝑛

|²

ρ(𝐸_𝑛)𝑇

ℏ

;

(6.85)

при этом энергия в конечном состоянии останется той же, что и в начальном. Отсюда вероятность перехода в единицу времени мы можем записать как

𝑑𝑃(𝑛→𝑚)

𝑑𝑡

=

2π

ℏ

|𝑀

_𝑛→𝑚

|²

ρ(𝐸)

,

(6.86)

где величина 𝑀_𝑛→𝑚 называется матричным элементом перехода, а ρ(𝐸) — плотность уровней в конечном состоянии. В нашем случае матричный элемент 𝑀_𝑛→𝑚 совпадает с 𝑉_𝑚𝑛 если же перейти к более высоким порядкам разложения по λ_𝑚𝑛, то вид этого элемента становится гораздо сложнее.

Выражение (6.86) можно записать иначе, а именно как вероятность перехода за единицу времени из состояния 𝑛 в некоторое заданное состояние 𝑚.

𝑑𝑃(𝑛→𝑚)

𝑑𝑡

=

2πδ(𝐸_𝑛-𝐸_𝑚)|𝑀_𝑛→𝑚|²

ℏ

(6.87)

Тогда, после того как мы просуммируем по всем состояниям 𝑚, останутся лишь те, для которых 𝐸_𝑛=𝐸_𝑚. Сделав замену

 

∑

^𝑚

→

∫

𝑑𝐸

_𝑚

ρ(𝐸

_𝑚

)

,

получим в результате формулу (6.86).

Выражение (6.86) мы можем проиллюстрировать на примере (который ранее был рассмотрен с несколько другой точки зрения) рассеяния электрона в потенциальном поле (см. § 4). Предположим, что на свободную частицу действует центральная сила с потенциалом 𝑉(𝐫) и мы хотим изучить рассеяние этой частицы при переходе из некоторого начального состояния с определённым значением импульса в конечное состояние с другим значением импульса, имеющим новое направление. Будем считать, что начальное состояние 𝑛 описывается плоской волной с импульсом 𝐩₁ так что волновая функция φ_𝑛 имеет вид exp (𝑖𝐩₁⋅𝐫/ℏ) (функция нормирована таким образом, чтобы интеграл от квадрата модуля |φ_𝑛|² по единичному объёму был равен единице). Допустим, что конечное состояние также описывается плоской волной с импульсом 𝐩₂ и, следовательно, его волновая функция φ_𝑚 есть exp (𝑖𝐩₂⋅𝐫/ℏ). Тогда для матричного элемента 𝑉_𝑚𝑛 будем иметь

𝑉

_𝑚𝑛

=

_𝐫

∫

 

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐩₂⋅𝐫}

𝑉(𝐫)

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐩₁⋅𝐫}

𝑑³𝐫

=

𝑣(𝐩)

,

(6.88)

где 𝐩=𝐩₂-𝐩₁. В процессе такого рассеяния энергия будет сохраняться, поэтому 𝐩²₂/2𝑚=𝐩²₁/2𝑚. Это означает, что абсолютные значения импульсов 𝐩₁ и 𝐩₂ равны. Положим их равными 𝑝, т.е.

|𝐩

₁

|

=

|𝐩

₂

|

=

𝑝.