Читаем Квантовая механика и интегралы по траекториям полностью

Квантовая механика и интегралы по траекториям

𝑒^{(𝑖/ℏ)(𝐸_𝑚-𝐸_𝑘)𝑇}-1

𝐸_𝑚-𝐸_𝑘

⎫

⎪

⎭

(6.98)

Первый из двух членов в последнем сомножителе этого выражения зависит от времени точно так же, как и член первого порядка, с которым мы уже встречались ранее. Следовательно, если мы отбросим второй член, то получим результат, который снова с вероятностью, пропорциональной 𝑇, описывает переход в состояния с энергией 𝐸_𝑚=𝐸_𝑛. Вероятность на единицу времени здесь опять-таки определяется выражением (6.86), но только матричный элемент 𝑀_𝑛→𝑚 принимает вид

𝑀

_𝑛→𝑚

∑

^𝑘

𝑉_𝑚𝑘𝑉_𝑘𝑛

𝐸_𝑘-𝐸_𝑛

(6.99)

Если предположить, что состояния системы лежат в непрерывном спектре, то сумма (6.99) превратится в интеграл.

Соотношение (6.99) верно лишь при условии, что переходы первого порядка невозможны не только в состояние 𝑚, но и в любое состояние 𝑘, имеющее ту же самую энергию, что и начальное состояние. В этом случае 𝑉_𝑘𝑛=0 для всех состояний, у которых 𝐸_𝑘=𝐸_𝑛. Таким образом, второй член в формуле (6.98) никогда не будет большим, так как он может стать таковым лишь в том случае, когда разность 𝐸_𝑛-𝐸_𝑘 почти равна нулю, но при этом и величина 𝑉_𝑘𝑛 в числителе также будет близкой к нулю. Так как все эффекты обусловлены первым членом, то формула (6.99) является математически корректной. Более того, сумма по 𝑘 в выражении (6.98) может иметь предел и в полюсе (точке 𝐸_𝑘=𝐸_𝑚, поскольку числитель этого выражения обращается в нуль при том же значении 𝐸_𝑘, что и знаменатель.

С другой стороны, может быть такая ситуация, когда станет возможен переход первого порядка в некоторое другое непрерывное состояние (например, распад ядра может происходить различными путями). В этом случае сумма в формуле (6.99) теряет смысл, так как мы должны определить, что нам делать в окрестности полюса. Для этого в формуле (6.98) надо учесть ранее отброшенный нами второй член разложения, который в нределе при ε→0 и даёт нам математически правильное выражение:

𝑀

_𝑛→𝑚

𝑉

_𝑚𝑛

∑

^𝑘

𝑉_𝑚𝑘𝑉_𝑘𝑛

𝐸_𝑘-𝐸_𝑛-𝑖ε

(6.100)

(для общности здесь выписан также и член первого порядка). Проанализируем теперь, как это происходит.

Прежде всего следует заметить, что при больших значениях 𝑇 мы можем получить большую величину вероятности перехода (т.е. вероятность, пропорциональную 𝑇) лишь в том случае, когда энергии 𝐸_𝑛 и 𝐸_𝑚 практически равны друг другу (с точностью до величин порядка ℏ/𝑇). Это очевидно для первого члена в формуле (6.98). Что касается второго члена, то большие амплитуды могут появиться здесь лишь тогда, когда 𝐸_𝑘≈𝐸_𝑚; если же энергия 𝐸_𝑚 не слишком близка к 𝐸_𝑛, то коэффициент, стоящий перед всем выражением, является гладкой функцией 𝐸_𝑘 для всех значений 𝐸_𝑘, близких к 𝐸_𝑚. Приближённо заменив эту функцию константой в малой области вблизи 𝐸_𝑘=𝐸_𝑚, мы видим, что второй член может быть аппроксимирован некоторой постоянной величиной, помноженной на фактор

𝑒^{(𝑖/ℏ)ε𝑇}-1

𝑑ε

где ε=(𝐸_𝑚-𝐸_𝑘). Это выражение интегрируется по малой области, скажем от -δ до +δ. Имеем

_δ

∫

^-δ

𝑒^{(𝑖/ℏ)ε𝑇}-1

𝑑ε

_δ𝑇/ℏ

∫

^-δ𝑇/ℏ

𝑒^𝑖𝑦-1

𝑦

𝑑𝑦

_δ𝑇/ℏ

∫

^-δ𝑇/ℏ

⎧

⎪

⎩

cos 𝑦-1

𝑦

𝑖 sin 𝑦

𝑦

⎫

⎪

⎭

𝑑𝑦

(6.101)

Первый интеграл в этом выражении берётся от нечётной функции и обращается в нуль. Второй интеграл стремится к конечному пределу, когда 𝑇→∞ (так как δ𝑇/ℏ→∞):

2𝑖

_∞

∫

⁰

sin 𝑦

𝑦

𝑑𝑦

2π𝑖,

так что вероятность перехода невелика. Эта вероятность может стать значительной только в том случае, когда энергии 𝐸_𝑛 и 𝐸_𝑚 практически равны друг другу, так как совпадение двух полюсов (𝐸_𝑘-𝐸_𝑛)^-1 и (𝐸_𝑚-𝐸_𝑘)^-1 приводит к возрастанию роли второго члена. Поэтому мы продолжим анализ, предположив, что 𝐸_𝑚 и 𝐸_𝑛 приблизительно равны.

Выбрав некоторое малое значение энергии Δ, разделим сумму по 𝑘 в выражении (6.98) на две части: часть 𝐴, для которой |𝐸_𝑘-𝐸_𝑛|≥Δ, и часть 𝐵, для которой |𝐸_𝑘-𝐸_𝑛|<Δ. Величину Δ мы выберем настолько малой, чтобы коэффициент 𝑉_𝑚𝑘𝑉_𝑘𝑛 был приблизительно постоянен, когда энергия 𝐸_𝑘 будет принимать значения в интервале 2Δ вблизи точки 𝐸_𝑛. Выбранная таким образом величина разности энергий Δ является конечной величиной, и 𝑇 можно взять настолько большим, чтобы выполнялось ℏ/𝑇 ≪ Δ, а это означает, что |𝐸_𝑛-𝐸_𝑚|≪Δ.

Итак, для части 𝐴 выполняется неравенство |𝐸_𝑘-𝐸_𝑛|≥Δ. Тогда второй член невелик, так как он не имеет полюсов. Вклад вносит только первый член, и он равен

𝑎

𝑒^𝑖𝑥-1

𝑥

𝑇

ℏ

(6.102)

где 𝑥=(𝐸_𝑚-𝐸_𝑛)𝑇/ℏ и

𝑎

_(𝐴)

∑

^𝑘

𝑉_𝑚𝑘𝑉_𝑘𝑛

𝐸_𝑘-𝐸_𝑛

Суммирование здесь выполняется по всем значениям 𝐸_𝑘, за исключением тех, которые попадают в интервал ±Δ вблизи 𝐸_𝑚. Эта сумма почти не зависит от Δ, и когда Δ→0, она определяет главное значение интеграла. Поэтому в пределе при Δ→0 мы можем написать

𝑎

𝑉

_𝑚𝑛

∑

^𝑘

𝑉

_𝑚𝑘

𝑉

_𝑘𝑛

𝐏𝐏

𝐸_𝑘-𝐸_𝑛

(6.103)