Квантовая механика и интегралы по траекториям

§ 2. Принцип неопределённости

Мы сформулируем принцип неопределённости следующим образом: если в процессе выбора из альтернативных ситуаций удаётся проследить более чем за одной из них, то интерференция между этими альтернативами становится невозможной. Первоначальная формулировка принципа, данная самим Гейзенбергом, отличалась от нашей, и мы несколько задержимся, чтобы обсудить исходную гейзенберговскую формулировку.

В классической физике частицу можно считать движущейся по определённой траектории и приписывать ей в каждый момент времени определённые положение и скорость. Такое описание не привело бы к тем необычайным результатам, которые, как мы видели, характерны для квантовой механики. Принцип Гейзенберга ограничивает применимость подобного классического описания. Например, имеет свои пределы представление о том, что частица 'занимает определённое положение и обладает определённым импульсом. Реальная система (т.е. система, подчиняющаяся квантовой механике) представляет собой, если смотреть на неё с классической точки зрения, систему, в которой положение и импульс не определены. Тщательным измерением можно уменьшить неопределённость положения, а в других опытах можно было бы точнее определить импульс. Однако, как утверждает принцип Гейзенберга, нельзя точно измерить обе эти величины одновременно; в любом эксперименте произведение неопределённостей импульса и координаты не может быть меньше некоторой величины порядка ℏ^*). Аналогичное условие требуется и для физической согласованности ситуации, которую мы обсуждали выше. Это можно показать, рассмотрев ещё одну попытку определения, через какое именно отверстие проходит электрон.

^* ℏ=ℎ/2π=1,054•10^-27 эрг/см, где ℎ — постоянная Планка.

Пример. Если электрон, проходя через одно из отверстий, отклоняется, то вертикальная составляющая его импульса изменяется. Кроме того, электрон, попадающий в детектор 𝑥 после прохождения отверстия 1, отклоняется на иной угол (а потому и импульс его претерпевает иное изменение), нежели электрон, попадающий в точку 𝑥 через отверстие 2. Предположим, что экран 𝐵 не закреплён жёстко, а может свободно передвигаться вверх и вниз (фиг. 1.5). Любое изменение вертикальной составляющей импульса электрона в момент его прохождения через отверстие будет сопровождаться равным и противоположным по знаку изменением импульса экрана, которое можно найти, измеряя скорость экрана до и после прохождения электрона. Обозначим через δ𝑝 разность между изменениями импульсов электронов, проходящих через отверстия 1 и 2. Тогда для однозначного выяснения того, через какое отверстие прошёл электрон, требуется определить импульс экрана с точностью, превышающей δ𝑝.

Фиг. 1.5. Ещё одна модификация эксперимента, изображённого на фиг. 1.1.

Экран 𝐵 может свободно передвигаться в вертикальном направлении. Если электрон проходит отверстие 2 и попадает в детектор (например, в точке 𝑥 = 0), то он отклонится вверх, а экран 𝑥 получит отдачу вниз. Определяя, куда откатывается покоившийся вначале экран, можно установить отверстие, через которое проходит электрон. Однако, согласно принципу неопределённости Гейзенберга, такие прецизионные измерения импульса экрана 𝑥 были бы несовместимы с точным знанием его вертикального положения, поэтому мы не могли бы быть уверены, что линия, соединяющая центры двух отверстий, установлена правильно. Вместо кривой a на фиг. 1.2 мы получим распределение, несколько размазанное в вертикальном направлении, похожее на кривую d фиг. 1.2.

Если в эксперименте импульс экрана 𝐵 можно измерить с требуемой точностью, то мы тем самым определяем, через какое отверстие прошёл электрон, и распределение вероятностей приобретает вид кривой d на фиг. 1.2. Интерференционная картина (а), очевидно, исчезает. Как это может произойти? Чтобы понять это, заметим, что при построении кривой, описывающей распределение электронов в плоскости экрана 𝐶, необходимо точно знать вертикальное положение двух отверстий на экране 𝐵. Поэтому мы должны измерить не только импульс экрана 𝐵, но и его координату. Для возникновения интерференционной картины (кривая а на фиг. 1.2) положение экрана должно быть известно с точностью, превышающей d/2, где d — расстояние между соседними максимумами кривой. Теперь предположим, что мы не знаем вертикальное положение экрана с такой точностью; тогда положение кривой а на фиг. 1.2 нельзя определить с точностью, большей чем d/2, поскольку за начало отсчёта вертикальной шкалы необходимо принять некоторую фиксированную точку на экране 𝐵. При этом значение вероятности 𝑃 для любого 𝑥 должно отыскиваться усреднением по всем её значениям внутри окрестности размером d/2 вокруг точки 𝑥; в процессе такого усреднения интерференционная картина, очевидно, размажется и результирующая кривая не будет отличаться от кривой d на фиг. 1.2.

Фиг. 1.6. Аналогичный эксперимент со светом.