Квантовая механика и интегралы по траекториям

Когда происходит рассеяние электронов на электронах, то результат отличен от описанного в двух отношениях. Во-первых, у электрона есть свойство, которое мы называем спином, и каждый электрон может находиться в одном из двух состояний: его спиновый момент направлен «вверх» или «вниз». В случае рассеяния электронов малой энергии спиновое состояние в первом приближении не изменяется. Со спином связан магнитный момент электрона; при малых скоростях основными будут электрические силы, обусловленные зарядом, а влияние магнитных сил сводится лишь к малой поправке, которой мы пренебрегаем. Поэтому если спин электрона А направлен вверх, а спин электрона В — вниз, то, определив его направление, мы могли бы затем различить их в момент прихода в точку 1. Вероятность рассеяния в этом случае

|φ

_AB

(1,2)|²+

|φ

_AB

(2,1)|²=

2𝑝.

(1.11)

Если же и электрон А, и электрон В начинают движение, когда их спины были направлены вверх, то мы не сможем их в дальнейшем различить и следует ожидать, что

|φ

_AB

(1,2)+φ

_AB

(2,1)|²=4𝑝.

(1.12)

В действительности этот вывод ошибочен, и, как это ни странно, электроны не подчинены такому правилу. Фаза амплитуды, описывающей перемену мест пары тождественных электронов, отличается от исходной на угол 180°. Следовательно, в случае когда оба спина направлены вверх, вероятность рассеяния равна

|φ

_AB

(1,2)-φ

_AB

(2,1)|.

(1.13)

В случае же рассеяния на угол 90° φ_AB(1,2)=φ_AB(2,1), так что выражение (1.13) обращается в нуль.

Фермионы и бозоны. Правило сдвига фазы на угол 180° в случае, когда альтернативы включают в себя обмен тождественными электронами, довольно необычно и его физическая природа понята ещё не до конца. Кроме электронов, ему подчинены и другие частицы. Такие частицы называют фермионами и говорят, что они подчиняются статистике Ферми (антисимметричной статистике). К фермионам относятся электроны, протоны, нейтроны, нейтрино и μ-мезоны, а также комбинации из нечётного числа этих частиц, как, например, атом азота, содержащий семь электронов, семь протонов и семь нейтронов. Правило сдвига фазы на угол 180° впервые сформулировал Паули, и оно составляет квантовомеханическую основу принципа исключения Паули, определяющего характерные черты периодической системы элементов.

Частицы, перестановка которых не изменяет фазу амплитуды, называют бозонами и говорят, что они подчинены статистике Бозе, или симметричной статистике. Примерами бозонов являются фотоны, π-мезоны и системы, содержащие чётное число ферми-частиц, как, например, α-частица, состоящая из двух протонов и двух нейтронов. Все частицы вещества являются либо бозонами, либо фермионами. Эти свойства симметрии могут приводить к глубоким и на первый взгляд таинственным. последствиям; например, жидкий гелий, состоящий из атомов с массовым числом 4 (т.е. из бозонов), при температуре порядка 1—2° К может течь без сопротивления по узким трубкам, в то время как жидкость, состоящая из атомов с массовым числом 3 (из фермионов), не обладает таким свойством.

Понятие тождественности частиц в квантовой механике намного полнее и определённее, чем в классической. С точки зрения классической механики две частицы, которые считаются тождественными, могли бы быть лишь приблизительно одинаковы или настолько одинаковы, чтобы на практике с помощью современной техники эксперимента их нельзя было различить. При этом сохраняется возможность, что техника будущего установит такое различие. Однако в квантовой механике положение совершенно иное: мы можем указать прямой критерий, устанавливающий, являются ли частицы совершенно неразличимыми или они различимы.

Если в эксперименте, который схематически изображён на фиг. 1.8, частицы, вылетающие из точек 𝐴 и 𝐵, одинаковы лишь приблизительно, то усовершенствование техники эксперимента дало бы нам возможность (путём тщательного изучения попадающих в точку 𝑥 частиц) определить, прилетают ли они из точки 𝐴 или из точки 𝐵. В этом случае альтернативы, соответствующие двум исходным положениям, должны быть несовместимы и, следовательно, их амплитуды не будут интерферировать. Важно, что подобный акт обследования имел бы место уже после того, как произошло рассеяние. Таким образом, наблюдение не могло повлиять на процесс рассеяния, а это в свою очередь означает, что не следует ожидать интерференции между амплитудами, описывающими эти альтернативы (вылетает ли частица, попадающая в точку 1, из 𝐴 или из 𝐵). В этом случае, согласно принципу неопределённости, мы должны заключить, что нет способа (даже в принципе) различить эти возможности; другими словами, если частица попадает в точку 1, то с помощью любого испытания (каково бы оно ни было) ни сейчас, ни в будущем совершенно невозможно определить, вылетела частица из точки 𝐴 или из точки 𝐵. В этом, более строгом, смысле все электроны (равно как все протоны и другие частицы) тождественны.