Квантовая механика и интегралы по траекториям

Квадрат модуля полной амплитуды мы интерпретируем как вероятность того, что соответствующее событие произойдёт. Например, вероятность попадания электрона в детектор

𝑃=|φ

₁

+φ

₂

|².

(1.15)

Если мы прерываем развитие процесса ещё до его завершения, наблюдая состояние частиц в ходе события, то тем самым изменяем вид выражения для полной амплитуды. Так, если установлено, что система находится в некотором определённом состоянии, то тем самым мы исключаем возможность того, чтобы она оказалась в каком-либо другом состоянии, и при вычислении полной вероятности амплитуды, связанные с такими исключёнными состояниями, уже нельзя рассматривать в качестве альтернатив. Например, если с помощью какого-нибудь устройства определить, что электрон проходит именно через отверстие 1, то амплитуда его попадания в детектор будет точно равна φ₁. Совершенно неважно, будем ли мы (в тот момент, когда работает измеряющее устройство) фактически наблюдать и записывать результат наблюдения или же нет. Очевидно, что при желании его можно было бы узнать в любое время. Уже одного вмешательства измеряющего устройства достаточно, чтобы изменить систему и соответствующую амплитуду полной вероятности.

Это последнее обстоятельство и составляет основу принципа неопределённости Гейзенберга, который утверждает, что существует естественный предел точности любого эксперимента и любого усовершенствования измерений.

Структура амплитуды вероятности. Амплитуда вероятности всякого события представляет собой сумму амплитуд различных альтернативных возможностей осуществления этого события. Это позволяет изучать её многими различными способами в зависимости от того, на какие классы можно подразделить альтернативы. Наиболее детальная картина получается при условии, что частица при переходе из состояния 𝐴 в состояние 𝐵 за данный промежуток времени совершает вполне определённое движение (т.е. определённым образом изменяет свои координаты в зависимости от времени), описывая конкретную траекторию в пространстве и времени. С каждым таким возможным движением мы будем связывать одну амплитуду; полная же амплитуда вероятности будет суммой вкладов от всех траекторий.

Эту мысль можно пояснить, продолжив рассмотрение нашего эксперимента с двумя отверстиями. Пусть между источником и отверстием помещена пара дополнительных экранов 𝐷 и 𝐸 (фиг. 19). В каждом из них проделаем по нескольку отверстий, которые обозначим 𝐷₁, 𝐷₂, … и 𝐸₁, 𝐸₂, … . Для простоты будем предполагать, что движение электронов происходит в плоскости (𝑥, 𝑦). В таком случае имеется несколько альтернативных траекторий, которые может выбрать электрон при своём движении от источника к отверстию в экране 𝐵. Он мог бы направиться сначала к отверстию 𝐷₂, далее к 𝐸₃ и затем к отверстию 1 или же мог бы, выйдя из источника, пролететь через 𝐷₃, затем через 𝐸₃ и, наконец, через отверстие 1 и т.д. Каждой из этих траекторий соответствует своя собственная амплитуда, и полная амплитуда вероятности будет их суммой.

Фиг. 1.9. Опыт с несколькими отверстиями в экранах.

Когда в экранах 𝐷 и 𝐸, помещённых между источником на экране 𝐴 и конечной точкой на экране 𝐶, проделано несколько отверстий, для каждого электрона имеется несколько альтернативных траекторий. Каждой из этих траекторий соответствует своя амплитуда вероятности. Чтобы определить результат какого-либо эксперимента, в котором открыты все отверстия, необходимо просуммировать все эти амплитуды по одной для каждой возможной траектории.

Предположим теперь, что мы увеличиваем число отверстий в экранах 𝐷 и 𝐸 до тех пор, пока от экранов ничего не останется. Траектория электрона должна определяться в этом случае высотой 𝑥_𝐷, на которой электрон пересекает несуществующий экран 𝐷, расположенный от источника на расстоянии 𝑦_𝐷, а также высотой 𝑥_𝐸 и расстоянием 𝑦_𝐸, как это показано на фиг. 1.10. Каждой паре значений 𝑥_𝐷 и 𝑥_𝐸 здесь соответствует своя амплитуда. Принцип суперпозиции по-прежнему остаётся в силе, и мы должны взять сумму (теперь уже интеграл) этих амплитуд по всем возможным значениям 𝑥_𝐷 и 𝑥_𝐸.

Фиг. 1.10. Число отверстий стремится к бесконечности.

В экранах, расположенных на расстояниях 𝑦_𝐷 и 𝑦_𝐸 от экрана 𝐴, проделывается все большее и большее число отверстий. В конце концов экраны полностью заполняются отверстиями, и получается непрерывная область точек вверх и вниз от центров экранов, в которых электрон может пересекать линию экрана. В этом случае сумма альтернатив превращается в двойной интеграл по непрерывным параметрам 𝑥_𝐷 и 𝑥_𝐸 — альтернативным высотам, на которых электрон пересекает экраны.