Квантовая механика и интегралы по траекториям

В этой главе мы намерены завершить построение нерелятивистской квантовой механики, начатое нами в гл. 1. Мы уже отметили, что для каждой траектории существует своя амплитуда вероятности; теперь мы установим вид этой амплитуды. Для простоты ограничимся пока случаем одномерного движения частицы. Пусть её положение в любой момент времени 𝑡 может быть определено координатой 𝑥; под траекторией будем понимать тогда функцию 𝑥(𝑡).

Если частица в начальный момент времени 𝑡_𝑎 начинает движение из точки 𝑥_𝑎 и приходит в конечную точку 𝑥_𝑏 в момент времени 𝑡_𝑏, то будем просто говорить, что частица движется из 𝑎 в 𝑏, а функция 𝑥(𝑡) обладает свойством 𝑥(𝑡_𝑎) = 𝑥_𝑎, 𝑥(𝑡_𝑏) = 𝑥_𝑏.

Тогда в квантовомеханическом описании получим амплитуду вероятности перехода из точки 𝑎 в точку 𝑏, называемую обычно ядром, которую обозначим через 𝐾(𝑏,𝑎). Эта амплитуда будет суммой вкладов от всех возможных траекторий между точками 𝑎 и 𝑏 в противоположность классической механике, где две точки соединяет одна и только одна так называемая классическая траектория. Последнюю будем обозначать как 𝑥(𝑡). Прежде чем перейти к формулировке законов для квантовомеханического случая, вспомним ситуацию, которая имеет место в классической механике.

§ 1. Действие в классической механике

Одним из наиболее изящных способов выразить условия, выделяющие из всех возможных траекторий определённую траекторию 𝑥(𝑡), является принцип наименьшего действия. Допустим, что существует некоторая величина 𝑆, которую можно вычислить для каждой траектории. Классическая траектория 𝑥 — это та, для которой 𝑆 принимает минимальное значение. Фактически используют только условие экстремальности действия; иными словами, значение 𝑆 в первом приближении не изменится, если незначительно отступить от траектории 𝑥(𝑡).

Величина 𝑆 задаётся выражением

𝑆=

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝐿

(𝑥̇,𝑥,𝑡)𝑑𝑡

(2.1)

где 𝐿 — лагранжиан системы. Для частицы с массой 𝑚, движущейся в потенциальном поле 𝑉(𝑥,𝑡), которое является функцией координаты и времени, лагранжиан запишется как

𝐿=

𝑚

2

𝑥̇²-𝑉(𝑥,𝑡)

(2.2)

Вид экстремальной траектории 𝑥(𝑡) находится с помощью обычных вариационных методов. Допустим, например, что траектория отличается от 𝑥 на величину δ𝑥(𝑡). Условие того, что конечные точки траектории 𝑥 фиксированы, требует, чтобы

δ𝑥(𝑡

_𝑎

)=

δ𝑥(𝑡

_𝑏

)=0.

(2.3)

Условие экстремальности для 𝑆, соответствующего классической траектории 𝑥, означает, что

δ𝑆=𝑆[

𝑥

+δ𝑥]-

𝑆[

𝑥

]=0

(2.4)

с точностью до первого порядка малости по δ𝑥. Используя определение (2.1), мы можем далее написать

𝑆[𝑥+δ𝑥]

=

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝐿(𝑥̇+δ𝑥̇,𝑥+δ𝑥,𝑡)𝑑𝑡=

=

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

⎡

⎢

⎣

𝐿(𝑥̇,𝑥,𝑡)+δ𝑥̇

∂𝐿

∂𝑥̇

+δ𝑥

∂𝐿

∂𝑥

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑡=

=

𝑆[𝑥]+

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

⎧

⎪

⎩

δ𝑥̇

∂𝐿

∂𝑥̇

+δ𝑥

∂𝐿

∂𝑥

⎫

⎪

⎭

𝑑𝑡.

(2.5)

После интегрирования по частям вариация 𝑆 примет вид

δ𝑆=δ𝑥

∂𝐿

∂𝑥̇

⎢

⎢

⎢

𝑡_𝑏

𝑡_𝑎

-

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

δ𝑥

⎡

⎢

⎣

𝑑

𝑑𝑡

⎧

⎪

⎩

∂𝐿

∂𝑥̇

⎫

⎪

⎭

-

∂𝐿

∂𝑥

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑡.

(2.6)

Так как на концах траектории δ𝑥 = 0, то первый член в правой части этого выражения равен нулю. В промежуточных точках δ𝑥 может принимать произвольное значение; поэтому экстремальное значение 𝑆 отвечает той траектории, в каждой точке которой всегда выполнено равенство

𝑑

𝑑𝑡

⎧

⎪

⎩

∂𝐿

∂𝑥̇

⎫

⎪

⎭

-

∂𝐿

∂𝑥

=0.

(2.7)

Это и есть классическое уравнение движения в лагранжевой форме.

В классической механике важен вид интеграла 𝑆=∫𝐿𝑑𝑡, а не его экстремальное значение 𝑆_кл. Это обусловлено тем, что для определения траектории, соответствующей наименьшей величине действия, необходимо знать действие 𝑆 для всего семейства близколежащих траекторий.

В квантовой механике важны как сам вид интеграла 𝑆, так и его значение в точке экстремума. Вычислим экстремальное значение 𝑆 для нескольких случаев.

Задача 2.1. Для свободной частицы лагранжиан 𝐿=𝑚𝑥̇²/2. Покажите, что действие, соответствующее классическому движению такой частицы,

𝑆

_кл

=

𝑚

2

(𝑥_𝑏-𝑥_𝑎)²

𝑡_𝑏-𝑡_𝑎

(2.8)

Задача 2.2. Лагранжиан гармонического осциллятора 𝐿=(𝑚/2)(𝑥̇²-ω𝑥²). Покажите, что классическое действие

𝑆

_кл

=

𝑚ω

2sin ω𝑇

⎡

⎢

⎣

(𝑥

2

𝑎

+𝑥

2

𝑏

) cos ω𝑇-2𝑥

_𝑎

𝑥

_𝑏

⎤

⎥

⎦

(2.9)

где 𝑇=𝑡_𝑏-𝑡_𝑎.

Задача 2.3. Вычислите 𝑆_кл для частицы, на которую действует постоянная сила 𝐹, т.е. когда лагранжиан 𝐿=𝑚𝑥̇²/2-𝐿_𝑥.

Задача 2.4. В классической механике импульс

𝑝=

∂𝐿

∂𝑥̇

.

(2.10)

Покажите, что в начальной точке траектории импульс равен

⎧

⎪

⎩

∂𝐿

∂𝑥̇

⎫

⎪

⎭

𝑥=𝑥_𝑎

=

∂𝑆_кл

∂𝑥_𝑎

.

(2.11)

Замечание. Для этого надо рассмотреть изменение соотношения (2.6) при варьировании в конечных точках.

Задача 2.5. Энергия в классической механике определяется выражением

𝐸=𝐿-𝑥̇𝑝.

(2.12)

Покажите, что в конечной точке траектории энергия равна

𝐸(𝑥

_𝑏

)-𝑥̇

_𝑏

⎧

⎪

⎩

∂𝐿

∂𝑥̇

⎫

⎪

⎭

𝑥=𝑥_𝑏

=

∂𝑆_кл

∂𝑡_𝑏

.

(2.13)

Замечание. Вариация по времени в конечной точке приводит к изменению траектории, так как все траектории должны быть классическими.

§ 2. Квантовомеханическая амплитуда вероятности