Квантовая механика и интегралы по траекториям

Теперь мы можем сформулировать квантовомеханическое правило вычисления амплитуды вероятности. Для этого необходимо установить, какой вклад вносит каждая траектория в полную амплитуду перехода из точки 𝑎 в точку 𝑏. Дело в том, что вклад дают сразу все траектории, а не только та, которая соответствует экстремальному действию. При этом вклады отдельных траекторий равны по величине, но различаются значением фазы; фаза данного вклада будет равна действию 𝑆 для этой траектории, выраженному в единицах кванта действия ℏ. Таким образом, подводим итог: вероятность 𝑃(𝑏,𝑎) перехода частицы из точки 𝑥_𝑎, где она находилась в момент времени 𝑡_𝑎, в точку 𝑥_𝑏, соответствующую моменту времени 𝑡_𝑏, равна квадрату модуля амплитуды перехода 𝑃(𝑏,𝑎)=|𝐾(𝑏,𝑎)|². Эта амплитуда представляет собой сумму вкладов φ[𝑥(𝑡)] от каждой траектории в отдельности, т.е.

𝐾(𝑏,𝑎)=

∑

φ[𝑥(𝑡)]

по всем

возможным

переходам

из 𝑎 в 𝑏

(2.14)

где суммирование выполняется по всем траекториям, соединяющим точки 𝑎 и 𝑏. Фаза вклада каждой траектории пропорциональна действию 𝑆:

φ[𝑥(𝑡)]=const⋅𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]}

(2.15)

Действие 𝑆 здесь то же самое, что и в случае соответствующей классической системы [см. выражение (2.1)]. Константу можно, выбрать из соображений удобства нормировки величины 𝐾; это мы сделаем после того, как более строго (с математической точки зрения) рассмотрим, что понимается под суммой по всем траекториям в соотношении (2.14).

§ 3. Классический предел

Прежде чем перейти к более строгому рассмотрению, сравним наше квантовое правило с классическим. С первого взгляда остаётся совершенно неясным, каким образом в классическом приближении наиболее важной окажется всего лишь одна траектория, тогда как из выражения (2.15) следует, что все траектории вносят в амплитуду одинаковый вклад, хотя и с различными фазами. Однако классическое приближение соответствует случаю, в котором размеры, массы, интервалы времени и другие параметры системы настолько велики, что действие 𝑆 во много раз превосходит постоянную ℏ= 1,05⋅10^-27 эрг⋅сек. В этом случае фаза 𝑆/ℏ каждого парциального вклада представляет собой чрезвычайно большой угол. Действительная (или мнимая) часть функции φ равна косинусу (или синусу) этого угла и в равной степени может оказаться как положительной, так и отрицательной. Если теперь, как показано на фиг. 2.1, мы сдвинем траекторию на малую величину δ𝑥 (малую в смысле классических масштабов), то изменение действия 𝑆 также будет небольшим в классическом смысле, однако отнюдь не малым при сопоставлении с величиной ℏ. Эти небольшие изменения траектории будут, вообще говоря, приводить к огромным изменениям фазы, так что её косинус и синус совершают очень быстрые и частые колебания между положительными и отрицательными значениями. Таким образом, если одна траектория даёт положительный вклад, то другая, бесконечно близкая к ней (в классическом смысле), даёт такой же отрицательный вклад, так что в целом не возникает никакого вклада.

Фиг.2.1. Классическая траектория 1 [𝑥=𝑥(𝑡)].

Это такая траектория, для которой интеграл действия 𝑆 принимает минимальное значение. Если эта траектория изменяется на величину δ𝑥(𝑡) (траектория 2), то в первом приближении по δ𝑥 интеграл не претерпевает никаких изменений. Это и определяет уравнение движения.

В квантовой механике амплитуда вероятности перехода из точки 𝑎 в точку 𝑏 равна сумме амплитуд, соответствующих всем возможным траекториям. Амплитуда вероятности для заданной траектории, т.е. 𝑒^𝑖𝑆/ℏ, имеет фазу, пропорциональную действию. Если действие очень велико по сравнению с постоянной Планка ℏ то для близлежащих траекторий, таких, как 3 и 4, оно лишь незначительно отличается по своей величине, однако вследствие малости постоянной ℏ различие в фазах в этих случаях будет очень большим. Вклады от таких траекторий взаимно уничтожаются. Только в непосредственной близости к классической траектории 𝑥(𝑡), где варьирование траекторий лишь незначительно изменяет действие 𝑆, близлежащие траектории, такие, как 1 и 2, дают вклады с одинаковыми фазами, которые вследствие интерференции усиливают друг друга. Вот почему приближение классической физики, т.е. необходимость рассмотрения только одной траектории 𝑥(𝑡), справедливо, когда действие 𝑆 очень велико по сравнению с постоянной ℏ.