Квантовые миры и возникновение пространства-времени

Но на самом деле все гораздо лучше. Если исходить из простого правила: «равные амплитуды подразумевают равные вероятности» и задаться вопросом, является ли оно частным случаем более общего правила, никогда не приводящего к противоречиям, то у нас будет всего один ответ. Этот ответ – правило Борна: вероятность равна амплитуде в квадрате.

В этом можно убедиться, вернувшись к нашему неравновесному случаю, где одна амплитуда равна квадратному корню из 1/3, а другая – квадратному корню из 2/3. На этот раз мы специально сразу включим в опыт еще один кубит с правым спином, если измерять спин по горизонтали. Сначала мы этот кубит просто «взяли за компанию».

Если мы настаиваем на равных вероятностях для равных амплитуд, это не сообщает нам ничего нового, поскольку амплитуды не равны. Но мы можем продолжать играть в ту же игру, измеряя второй спин вдоль вертикальной оси, если первый спин – нижний. В процессе эволюции волновая функция разделяется на три составляющие, и мы можем выяснить, каковы их амплитуды, вернувшись к показанному выше разложению состояния правого спина на вертикальные спины, как это было нами сделано ранее. Умножив квадратный корень из 2/3 на квадратный корень из 1/2, мы получим квадратный корень из 1/3, так что мы получаем три ветви, и все – с равными амплитудами.

Поскольку амплитуды равны, теперь мы смело можем присвоить им равные вероятности. Амплитуд три, поэтому каждой из них будет соответствовать вероятность 1/3. Если же мы не хотим, чтобы значение вероятности в одной из веток внезапно изменилось, когда что-то произойдет в другой ветке, мы должны были присвоить вероятность 1/3 ветке с верхним спином еще до того, как выполнили второе измерение. Но 1/3 – это просто квадрат амплитуды данной ветки, в точном соответствии с правилом Борна.

⚪ ⚪ ⚪

Здесь таится парочка проблем. Можно возразить, что мы рассмотрели исключительно простой пример, где одна вероятность была ровно вдвое больше другой. Но такая стратегия работает во всех случаях, когда мы можем разделить наши состояния на нужное количество членов так, чтобы все амплитуды были равны по величине. Это срабатывает, когда все амплитуды в квадрате являются рациональными числами (частными от деления одного целого числа на другое), и ответ остается все тем же: вероятность равна квадрату амплитуды. Существует также множество иррациональных чисел, но, если вам как физику удается доказать, что принцип работает со всеми рациональными числами, вы передаете задачу математику, бормочете что-то о «непрерывности» и заявляете, что ваша работа на этом закончена.

Мы видим теорему Пифагора в действии. Именно поэтому ветвь, которая больше другой ветви в квадратный корень из двух[17], может разделиться на две другие ветви равного размера. Вот почему самое сложное заключается не в выводе конкретной формулы, а в предоставлении серьезного обоснования тому, каково же значение вероятности в детерминистской теории. Здесь мы исследовали один из возможных ответов: дело в степенях уверенности, которые присваиваются возможности оказаться в той или иной ветви волновой функции сразу после акта ветвления.

Возможно, вам неуютно от мысли: «Но я же хочу знать, какова вероятность результата, еще до того, как выполню измерение, а не сразу после. До ветвления никакой неопределенности нет вообще – вы уже сказали, что неправильно гадать, в какой ветке я окажусь. Поэтому как мне рассуждать о вероятностях до того, как состоится измерение?»

Бояться нечего. Вы правы, воображаемый собеседник, – бессмысленно беспокоиться о том, в какой ветке вы окажетесь. Мы наверняка знаем, что из вашего нынешнего состояния образуются два «потомка» и они будут находиться в разных ветках. Они будут идентичны, причем оба не будут знать, в каких именно ветках оказались, и степени уверенности относительно этого они должны расставлять по правилу Борна. Но это означает, что все ваши потомки окажутся в одинаковой эпистемологической позиции, когда будут расставлять вероятности по правилу Борна. Поэтому имеет смысл не ждать и присвоить эти вероятности прямо сейчас. Мы были вынуждены сместить смысл вероятности от простой фреквентистской модели к более надежной эпистемологической картине, но наши расчеты и действия на основе этих расчетов не изменились. Вот почему физикам удалось выполнить интересную работу, искусно уходя от таких тонких вопросов все это время.

На интуитивном уровне такой анализ подсказывает, что амплитуды в квантовой волновой функции ведут к различным ветвям, обладающим разными «весами», пропорциональными квадрату амплитуды. Не хотелось бы воспринимать этот мысленный образ чересчур буквально, однако он дает конкретную картину, которая помогает нам осмыслить вероятности, а также другие феномены, о которых речь пойдет ниже, – в частности, сохранение энергии.

Вес ветки = |Амплитуда этой ветки|²