Лейбниц. Анализ бесконечно малых

После публикации своей первой статьи, посвященной анализу, в 1684 году у Лейбница возникли проблемы с авторством. И хотя он настаивал на том, что его метод отличается и что он нашел его до того, как познакомился с какой-либо работой Ньютона, о чем свидетельствовали письма, написанные Ольденбургу, это не помогло. Дело обострилось, когда Никола Фатио де Дюилье, ученик Ньютона, обвинил Лейбница в плагиате.

Обвинения начали летать туда-сюда между континентом и островом, а математики вставали на сторону того или другого ученого. Полемика разгорелась так жарко, что Лейбниц потребовал создать комиссию Королевского общества, чтобы определить, кто был прав в этой дискуссии. Комиссия, которая была создана Ньютоном, бывшим в то время председателем научного общества, пришла к выводу, что первенство было за английским ученым.

Из-за этого спора английские и европейские интеллектуалы прервали отношения и перестали обмениваться информацией. Ученые с континента поддержали Лейбница, а английские — Ньютона, но так как английская версия анализа в большей степени основывалась на геометрических методах, чем европейская, это стало помехой для английской математики, которая в условиях изоляции отстала от континентальной.

РАСПРОСТРАНЕНИЕ АНАЛИЗА

Метод Лейбница был быстро принят математиками европейского континента. Самыми преданными его "апостолами" были братья Якоб и Иоганн Бернулли, первые из большой семьи известных математиков. Работа Лейбница была оригинальной и результативной, но несколько незаконченной: иногда ей было сложно следовать. К счастью, братья Бернулли упорядочили ее, привнеся множество примеров и новых деталей. Лейбниц признал большой вклад, сделанный Бернулли, и даже подчеркнул, что они стали первыми, кто применил новый метод к решению физических проблем.

Якоб Бернулли (1654-1705) являлся самоучкой и был хорошо знаком с трудами главных предтеч анализа: Декарта, Уоллиса и Барроу. Он работал преподавателем математики в Базельском университете. Найдя одну из первых работ Лейбница по данной теме, Якоб самостоятельно освоил дифференциальное и интегральное исчисление. Он объяснил суть нового метода своему брату Иоганну, и они оба начали работать над анализом Лейбница. В 1690 году в "Актах ученых" Якоб опубликовал статью, в которой говорил о собственных методах анализа и решил задачу, предложенную Лейбницем за три года до этого: "Найти кривую, расположенную в вертикальной плоскости, по которой материальная точка опускается на одну и ту же длину за одно и то же время".

У Иоганна Бернулли (1667-1748) по прозвищу Задира было больше таланта и изобретательности, чем у брата. Он был великим геометром, хотя и не очень скромным (на его могильной плите выгравирована надпись: "Здесь лежит Архимед своего времени"). Он был убежденным защитником Лейбница и сторонником его приоритета в создании математического анализа. Иоганн поссорился с несколькими математиками, особенно со своим братом Якобом и сыном Даниилом. Он был преподавателем Эйлера и объяснял анализ маркизу Лопиталю, знатоку математики.

Действительно, Гийом Франсуа Антуан, маркиз де Лопиталь (1661-1704), нанял Иоганна для того, чтобы тот объяснил ему детали анализа бесконечно малых. На основе полученной на этих уроках информации он опубликовал первый в истории учебник математического анализа: "Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий" (1696). Лопиталь издал его под своим именем, хотя большинство результатов, представленных в этой книге, принадлежали самому Бернулли.

Оба брата решили множество задач с помощью нового метода: спрямление кривых, вычисление кривизны, эвольвенты, эволюты и точки перегиба. Якоб уделил особое внимание логарифмической спирали и так восхищался ей, что в итоге распорядился изобразить ее на своей надгробной доске.

Одной из форм, благодаря которой больше всего распространялся анализ, была постановка задач. Предложить задачу, чтобы остальные математики ее решали, — в то время такой метод был очень популярен.

В статье 1690 года Якоб решил задачу, предложенную Лейбницем, но также поставил другую: найти форму, которую примет идеально гибкая и однородная кривая под действием только веса, если она закреплена с двух концов. Решением оказалась кривая, известная как цепная линия. Ответ на задачу, помимо Гюйгенса и Лейбница, был найден братом Якоба, Иоганном. Сам Лейбниц позже, в 1692 году, опубликовал статью в "Журналь дэ саван", где снова представил решение и объяснил, как использовать цепную линию в навигации.